数学文（重点班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三上学期期末考试（2017

数学文（重点班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三上学期期末考试（2017

高三期末考试文科重点班 数学试题 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. 　‎ ‎2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（　）‎ ‎　　A．f（x）＞f（-x）　　　　　　　　C．f（x）≤f（-x）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎　　C．f（x）·f（-x）≤0　　　　　D．f（x）·f（-x）＞0‎ ‎3．若a,b是异面直线，且a∥平面a ，那么b与平面a 的位置关系是（　）‎ ‎　　A．b∥a　　　　　　　　　　　　B．b与a 相交 C．ba　　　　　　　　　　　　D．以上三种情况都有可能 ‎4．“”是“直线与直线平行”的（ ）条件。‎ A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分 D．既不充分也不必要 ‎5.设直线与平面相交但不垂直，则下列命题错误的是 （ ）‎ A．在平面内存在直线与直线平行 B．在平面内存在直线与直线垂直 C．在平面内存在直线与直线相交 D． 在平面内存在直线与直线异面 ‎6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知是等比数列，且 ，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知对数函数 ，且在区间上的最大值与最小值之积为，则 （ ）‎ A． B．或 C. D．‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知函数 ，若在区间内随机取一个数，则 的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知是函数 在 内的两个零点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设向量与满足,则 ．‎ ‎14. 设实数满足约束条件，则 的最大值等于 ．‎ ‎15. 抛物线 与椭圆 有相同的焦点， 抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于 ．‎ ‎16. 已知数列的前项和，则数列 的前项和等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，周长为 ，求.‎ ‎18. （本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.‎ ‎（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？‎ 文科生 理科生 合计 获奖 不获奖 合计 附表及公式：‎ ‎，其中 ‎19. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点 ‎（I）求椭圆的方程：‎ ‎（II）直线（）与椭圆相交于两点，点为椭圆上的动点，且，请问△的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线的方程：若不存在，说明理由．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20. （本小题满分12分）已知为实数，.‎ ‎（1）若，求在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若在和上都递减，求的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交圆于不同两点，记的斜率为.‎ ‎（1）求的取值范围； ‎ ‎（2）若四边形为梯形，求的值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建 立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线分别交于两点， 求的最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 文科数学参考答案 一、 选择题：‎ ‎1-5CCDA A 6-12 BABCD AC 二、填空题：‎ ‎（13）5 （14）－2 （15）－1 （16）－ ‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理可得 sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A ‎ ‎＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC．‎ 所以cosC＝－，故C＝． ‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积为得ab＝15， ‎ 由余弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，又c＝15－(a＋b)，‎ 解得c＝7． …12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，‎ ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69． …4分 ‎（Ⅱ）‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 不获奖 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 合计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎…8分 k＝＝≈4.167＞3.841，‎ 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． ‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，‎ ‎∵CN＝3NP，‎ ‎∴EN∥BC且EN＝BC，‎ 又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，‎ ‎∴AM∥BC且AM＝BC，‎ ‎∴EN∥AM且EN＝AM，‎ ‎∴四边形AMNE是平行四边形，‎ ‎∴MN∥AE，‎ 又∵MN平面PAB，AE平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB． ‎ ‎（Ⅱ）连接AC，在梯形ABCD中，‎ 由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60°‎ 得AB＝2，‎ ‎∴AC＝2，AC⊥AB．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AC．‎ 又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB．‎ 又∵CN＝3NP，‎ ‎∴N点到平面PAB的距离d＝AC＝． ‎ ‎（20）（I）由题意，，∴a=2，b=1， ‎ ‎∴椭圆C的方程： ‎ ‎（II）D在AB的垂直平分线上，∴OD： ． ‎ 由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4， ‎ 同理可得|OC|=2，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=． ‎ 由于， ‎ 所以S△ABC=2S△OAC≥，当且仅当1+4k2=k2+4（k＞0），‎ 即k=1时取等号．△ABD的面积取最小值．直线AB的方程为y=x． ‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）显然k≠0，所以l1：y＝kx，l2：y＝－x．‎ 依题意得M到直线l1的距离d1＝＜，‎ 整理得k2－4k＋1＜0，解得2－＜k＜2＋； ‎ 同理N到直线l2的距离d2＝＜，解得－＜k＜， ‎ 所以2－＜k＜． …‎ ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 将l1代入圆M可得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝； ‎ 将l2代入圆N可得：(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，‎ 所以x3＋x4＝－，x3x4＝． ‎ 由四边形ABCD为梯形可得，所以＝，‎ 所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3（舍）． ‎ ‎（22）解：（Ⅰ）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，‎ C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． ‎ ‎（Ⅱ）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，‎ 则ρ1＝，ρ2＝2cosα， ‎ ＝＝×2cosα(cosα＋sinα)‎ ‎＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， ‎ 当α＝时，取得最大值(＋1)． ‎ ‎（23）解：‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，‎ 当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2． ‎ ‎②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意． ‎ ‎③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，‎ 当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾． ‎ 综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． ‎ 解法2‎ f(x)≥1Þf(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. ‎ 当a≥2时，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝ 所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f(x)≥f(1)．‎ f(x)≥1Ûf(1)＝a－1≥1，解得a≥2．‎ 综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． ‎