2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中考试数学（理）试题

河北安平中学 2017—2018 学年第一学期期中考试 数学试题 （高二理科） 一、选择题：（每题只有一个正确选项。共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。） 1.双曲线 的虚轴长是（　　） A．2 B． C． D．8 2.以下四组向量中，互相平行的有（ ）组． （ ） ， ．（ ） ， ． （ ） ， ．（ ） ， ． A．一 B．二 C．三 D．四 3.已知椭圆 C： 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方 程是（　　） A． B． C． D． 4.已知向量 =（2，3，1）， =（1，2，0），则| ﹣ |等于（　　） A．1 B． C．3 D．9 5.已知斜率为 3 的直线 L 与双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）交于 A，B 两点，若点 P （6，2）是 AB 的中点，则双曲线 C 的离心率等于（　　） A． B． C．2 D． 6.已知 =（2，﹣1，3）， =（﹣1，4，﹣2）， =（7，5，λ），若 、 、 三向量共面，则 实数λ等于（　　） A． B． C． D． 7.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 P、Q 两点， 若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 1 (1,2,1)a = (1, 2,3)b = − 2 (8,4, 6)a = − (4,2, 3)b = − 3 (0,1, 1)a = − (0,3, 3)b = − 4 ( 3,2,0)a = − (4, 3,3)b = − 8.若 =（2，﹣3，1）， =（2，0，3）， =（0，2，2），则 •（ + ）=（　　） A．4 B．15 C．7 D．3 9.已知 F1、F2 是双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，点 F1 关于渐近线的对称 点恰好落在以 F2 为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D．3 10．若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于（ ） A． B． C． 或 D． 或 11.过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F，且倾斜角为 的直线与抛物线交于 A，B 两点，若弦 AB 的垂直平分线经过点（0，2），则 p 等于（　　） A． B． C． D． 12.如图，过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C， 若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则 p 为（　　） A． B．2 C． D． 二.填空题（共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分。） 13．若向量 ，(其中 i、j、k 是两两互相垂直的单位向量)则 这两个向量的位置关系是___________。 14. 若平面α的一个法向量为 =（4，1，1），直线 L 的一个方向向量为 =（﹣2，﹣3， 3），则 L 与α所成角的正弦值为　　． )2,1,2(),2,,1( −== ba  λ a b 9 8 λ 2 2− 2− 55 2 2 55 2− ,94,2 kjibkjia  ++=+−= 15.给出下列命题： ①直线 L 的方向向量为 =（1，﹣1，2），直线 m 的方向向量 =（2，1，﹣ ），则 L 与 m 垂 直； ②直线 L 的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），则 L⊥α； ③平面α、β的法向量分别为 =（0，1，3）， =（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点 A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平 面α的法向量，则 u+t=1． 其中真命题的是　　　　．（把你认为正确命题的序号都填上） 16.给出下列结论： 动点 M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为 ，设 M（x， y） 的轨迹为曲线 C，F1、F2 分别为曲线 C 的左、右焦点，则下列命题中： （1）曲线 C 的焦点坐标为 F1（﹣5，0）、F2（5，0）； （2）若∠F1MF2=90°，则 S =32； （3）当 x＜0 时，△F1MF2 的内切圆圆心在直线 x=﹣3 上； （4）设 A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为 ； 其中正确命题的序号是：　　　　．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17.（本小题 10 分） 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1（﹣2 ，0）和 F2（2 ，0），长轴长为 6，设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点．求：线段 AB 的中点坐标． 18. （本小题 12 分） 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距 离与该点到抛物线准线的距离相等． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 x﹣my﹣6=0 与抛物线 C 交于 A、B 两点，若∠AFB=90°，求实数 m 的值． 19．（本小题 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 侧棱 底面 ， ， ， ， 为 的中点. （Ⅰ）求直线 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面 内找一点 ，使 面 ， 并求出点 到 和 的距离. 20. （本小题 12 分） 已知点 A（0，﹣2），椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F 是椭圆的焦点， 直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 L 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 L 的方程． 21．（本小题 12 分） 如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 上移 动.（1）证明： ； （2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离； （3） 等于何值时，二面角 的大小为 . P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 3AB = 1BC = 2PA = E PD AC PB PAB N NE ⊥ PAC N AB AP 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1, 2AD AA AB= = = E AD 1 1D E A D⊥ E AB E 1ACD AE 1D EC D− − 4 π 22. （本小题 12 分） 已知 A（2，0），O 为坐标原点，动点 P 满足| + |+| ﹣ |=4 （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）过点 A 且不垂直于坐标轴的直线 L 交轨迹 C 于不同的两点 M，N，线段 MN 的垂直平分线 与 x 轴交于点 D，线段 MN 的中点为 H，求 的取值范围． 高二理班数学答案 BBCBA DBDCC CC 13. 垂直 14. 15. ①④ 16. （1）（3） 17.（本小题 10 分）解：设椭圆 C 的方程为 + =1， 由题意 a=3，c=2 ，b= =1．∴椭圆 C 的方程为 +y2=1． 联立方程组 ，消 y 得 10x2+36x+27=0， 因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=﹣ ， 故线段 AB 的中点坐标为（﹣ ， ）． 18.（本小题 12 分）解：（1）抛物线上横坐标为 的点的坐标为（ ，± ），到抛物线顶 点的距离的平方为 +p， ∵抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等， ∴ +p=（ + ）2， ∴p=2 抛物线的方程为：y2=4x． （2）由题意，直线 l：x=my+6，代入 y2=4x 得，y2﹣4my﹣24=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=4m，y1y2=﹣24， ∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即 • =0 可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0 ∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0 ∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0， 解得：m=± ． 19．（本小题 12 分）解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐 标系， 则 的坐标为 、 、 、 、 、 ， 从而 设 的夹角为 ，则 ∴ 与 所成角的余弦值为 . （Ⅱ）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则 ，由 面 可得， ∴ 即 点的坐标为 ，从而 点到 和 的距离分别为 . 21．解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 （1） , , , , ,A B C D P E (0,0,0)A ( 3,0,0)B ( 3,1,0)C (0,1,0)D (0,0,2)P 1(0, ,1)2E ).2,0,3(),0,1,3( −== PBAC PBAC与 θ ,14 73 72 3 |||| cos == ⋅ ⋅= PBAC PBACθ AC PB 14 73 N PAB N ( ,0, )x z )1,2 1,( zxNE −−= NE ⊥ PAC    =+− =−      =⋅−− =⋅−−    =⋅ =⋅ .02 13 ,01 .0)0,1,3()1,2 1,( ,0)2,0,0()1,2 1,( .0 ,0 x z zx zx ACNE APNE 化简得即    = = 1 6 3 z x N )1,0,6 3( N AB AP 31, 6 D 1, ,DA DC DD , ,x y z AE x= 1 1(1,0,1), (0,0,1), (1, ,0), (1,0,0), (0,2,0)A D E x A C .,0)1,,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA ⊥=−= 所以因为 （2）因为 为 的中点，则 ，从而 ， ，设平面 的法向量为 ，则 也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为 （3）设平面 的法向量 ，∴ 由 令 ， ∴ 依题意 ∴ （不合，舍去）， . ∴ 时，二面角 的大小为 . 20.解：（Ⅰ） 设 F（c，0），由条件知 ，得 又 ， 所以 a=2，b2=a2﹣c2=1，故 E 的方程 ．…． （Ⅱ）依题意当 l⊥x 轴不合题意，故设直线 l：y=kx﹣2，设 P（x1，y1），Q（x2，y2） 将 y=kx﹣2 代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时， 从而  E AB (1,1,0)E )0,2,1(),1,1,1(1 −=−= ACED )1,0,1(1 −=AD 1ACD ),,( cban =    =⋅ =⋅ ,0 ,0 1ADn ACn    =+− =+− 0 02 ca ba    = = ca ba 2 )2,1,2(=n E 1ACD .3 1 3 212 || || 1 =−+=⋅= n nEDh 1D EC ),,( cban = ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11 =−=−= DDCDxCE    =−+ =−⇒    =⋅ =⋅ .0)2( 02 ,0 ,01 xba cb CEn CDn 1, 2, 2b c a x= ∴ = = − ).2,1,2( xn −= .2 2 5)2( 2 2 2 |||| || 4cos 2 1 1 = +− ⇒= ⋅ ⋅= xDDn DDnπ 321 +=x 322 −=x 2 3AE = − 1D EC D− − 4 π 又点 O 到直线 PQ 的距离 ，所以△OPQ 的面积 = ， 设 ，则 t＞0， ， 当且仅当 t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y= x﹣2 或 y=﹣ x﹣2．… 22.（本小题 12 分）解：（Ⅰ）设 P（x，y），由已知得 + = ＞4， 根据椭圆定义知 P 点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为 的椭圆，即有 a=2 ，c=2，b=2，则动点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1； （Ⅱ）设直线 L 的斜率为 k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 L 的方程为 y=k（x﹣2），将其代入 + =1， 整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0， 由于 A 在椭圆内，当然对任意实数 k 都有△＞0， 根据韦达定理得 x1+x2= ，x1x2= ， 那么|MN|= = • = ， y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k= ， 线段 MN 中点 H 的坐标为（ ， ）， 那么线段 MN 的垂直平分线方程为 y+ =﹣ （x﹣ ）， 令 y=0，得 D（ ，0）， |DH|= = ， 则 = • = • ， 由 k≠0，可得 1+ ∈（1，+∞）， 于是 ∈（0， ）．