数学文卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考（2017-12）

数学文卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考（2017-12）

2017 年衡阳市八中高二 12 月份月考试题 数学(文科) 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共 22 个小题，考试时间 120 分钟， 试卷满分 100 分. 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写涂在答题卷上. 1. 准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设命题 p：函数 y＝sin2x 的最小正周期为π 2；命题 q：函数 y＝cosx 的图象关于直线 x＝π 2 对称．则下列判断正确的是(　　) A．p 为真 B． q 为假 C．p∧q 为假 D．p∨q 为真 4. 某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女 生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94，88，92，90，五名女生的成 绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线 在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 P 是椭圆与双曲线的一 2 2y x= − 2 4y x= − xy 22 = 2 4y x= ¬ y x= 2 xy′ = cosy x= siny x′ = 2xy e= 2 xy e′ = ln xy x = 2 1 ln xy x −′ = 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2 2y x= ± 2 1y x x = + ( )1,2 2y x= 1y x= + 4 2y x= − 3 1y x= − 2 2 14 x y+ = 2 2 2 1x ya − = 1 2F F， 个交点，则 的面积是（ ） A．4 B．2 C．1 D． 9. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，C 与抛物线 的准线交于 A，B 两 点， ，则双曲线 C 的实轴长为（ ） A． B． C．4 D．8 10. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 12. 设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°， 则 m 的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为 . 14. 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该 椭圆的离心率为 . 15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为 ，且用料最省，则水桶的底面半径 为 . 16. 设函数 在区间 的导函数为 ， 在区间 的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函 数”，已知 ，若函数 在区间 上为“凸函数”，则实 1 2PF F∆ 1 2 x 2 16y x= | | 4 3AB = 2 2 2 ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k ( , 2]−∞ − ( , 1]−∞ − [2, )+∞ [1, )+∞ 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a (2, )+∞ ( , 2)−∞ − (1, )+∞ ( , 1)−∞ − 2 2 13 x y m + = (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ l l 1 4 27π ( )y f x= ( , )a b ( )f x′ ( )f x′ ( , )a b ( )f x′′ ( , )a b ( ) 0f x′′ < ( )f x ( , )a b 4 3 21 3( ) 12 2f x x mx x= − − ( )f x ( 1, 2)− 数 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 8 分) 为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后， 画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比 2∶4∶17∶15∶9∶3， 第二小组频数为 12. （1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？ （2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （3）若次数在 110 以上(含 110 次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？ 18．(本小题满分 8 分) 已知函数 在 和 处都取得极值. （1）求 ， 的值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 19. (本小题满分 8 分) 已知双曲线 E： 的两个焦点为 . （1）若点 M 在双曲线 E 上，且 ，求点 M 到 x 轴的距离； （2）设椭圆 C 与双曲线 E 有相同焦点，且过点 ，求椭圆 C 的方程. 20. (本小题满分 9 分) 设 A，B 为曲线 C： 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． a 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + 1x = 2 3x = − a b ( )f x [ 1, 2]− 2 2 116 4 x y− = 1 2,F F 1 2 0MF MF =   ( 10, 3) 4 2xy = （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 ，求直线 AB 的方程． 21. (本小题满分 9 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点在 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正 方形, 四个顶点围成的图形面积为 . （1）求椭圆的方程； （2）直线 过点 且与椭圆相交于 、 两点, 当 面积取得最大值时, 求直 线 的方程. 22. (本小题满分 10 分) 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当 a﹤0 时，证明 ． 2017 年衡阳市八中高二 12 月份月考试题参考答案 数学(文科) 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共 22 个小题，考试时间 120 分钟， 试卷满分 100 分. 二. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填涂在答题卷中相应的方格内. BMAM ⊥ O x 2 2 l ( )0,2P A B AOB∆ l 2( )=ln (2 1)f x x ax a x+ + + ( )f x 3( ) 24f x a ≤ − − 1. 准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设命题 p：函数 y＝sin2x 的最小正周期为π 2；命题 q：函数 y＝cosx 的图象关于直线 x＝π 2 对称．则下列判断正确的是(　　) A．p 为真 B． q 为假 C．p∧q 为假 D．p∨q 为真 4. 某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女 生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94，88，92，90，五名女生的成 绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线 在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 P 是椭圆与双曲线的一 个交点，则 的面积是（ ） A．4 B．2 C．1 D． 9. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，C 与抛物线 的准线交于 A，B 两 点， ，则双曲线 C 的实轴长为（ ） 2 2y x= − 2 4y x= − xy 22 = 2 4y x= ¬ y x= 2 xy′ = cosy x= siny x′ = 2xy e= 2 xy e′ = ln xy x = 2 1 ln xy x −′ = 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2 2y x= ± 2 1y x x = + ( )1,2 2y x= 1y x= + 4 2y x= − 3 1y x= − 2 2 14 x y+ = 2 2 2 1x ya − = 1 2F F， 1 2PF F∆ 1 2 x 2 16y x= | | 4 3AB = A． B． C．4 D．8 10. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 12. 设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°， 则 m 的取值范围是( ) A． B． C． D． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C C D B B C C D B A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为 . 14. 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该 椭圆的离心率为 . 15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为 ，且用料最省，则水桶的底面半径 为 3 . 16. 设函数 在区间 的导函数为 ， 在区间 的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函 数”，已知 ，若函数 在区间 上为“凸函数”，则实 数 的取值范围是 . 2 2 2 ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k ( , 2]−∞ − ( , 1]−∞ − [2, )+∞ [1, )+∞ 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a (2, )+∞ ( , 2)−∞ − (1, )+∞ ( , 1)−∞ − 2 2 13 x y m + = (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ 8 5 l l 1 4 1 2 27π ( )y f x= ( , )a b ( )f x′ ( )f x′ ( , )a b ( )f x′′ ( , )a b ( ) 0f x′′ < ( )f x ( , )a b 4 3 21 3( ) 12 2f x x mx x= − − ( )f x ( 1, 2)− a 1 1,12 3      三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 8 分) 为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后， 画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比 2∶4∶17∶15∶9∶3， 第二小组频数为 12. （1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？ （2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （3）若次数在 110 以上(含 110 次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？ 解　(1)∵前三组的频率和为2＋4＋17 50 ＝23 50<1 2， 前四组的频率之和为2＋4＋17＋15 50 ＝38 50>1 2， ∴中位数落在第四小组内． (2)频率为： 4 2＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08， 又∵频率＝ 第二小组频数 样本容量 ，∴样本容量＝ 频数 频率＝ 12 0.08＝150. (3)由图可估计所求良好率约为： 17＋15＋9＋3 2＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. 18．(本小题满分 8 分) 已知函数 在 和 处都取得极值. （1）求 ， 的值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 解:（1） （2） 19. (本小题满分 8 分) 已知双曲线 E： 的两个焦点为 . （1）若点 M 在双曲线 E 上，且 ，求点 M 到 x 轴的距离； （2）设椭圆 C 与双曲线 E 有相同焦点，且过点 ，求椭圆 C 的方程. 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + 1x = 2 3x = − a b ( )f x [ 1, 2]− 1 , 22a b= − = − max min 1( ) 3, ( ) 2f x f x= = − 2 2 116 4 x y− = 1 2,F F 1 2 0MF MF =   ( 10, 3) 解:（1） （2） 20. (本小题满分 9 分) 设 A，B 为曲线 C： 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 ，求直线 AB 的方程． 解：（1）【解法 1】设 ,AB 直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所 以   -得 由已知条件 所以， 即直线AB的斜率k=1． 【解法 2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以 整理得： 且 所以k=1 （2）：设 所以  又 所以 所以M（2,1）， ， ，且 ， 即 ，设AB 直线的方程为 ， 化简得 ，所以 由得 所以b=7 或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7 21. (本小题满分 9 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点在 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正 方形, 四个顶点围成的图形面积为 . 2 5 5 2 2 125 5 x y+ = 4 2xy = BMAM ⊥ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4/2 11 xy = 4/2 22 xy = 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( )( ) 4 4 x x x x x xy y − + −− = = 1 2 4x x+ = 2 1 2 1 1y y x x − =− ),(),,( 2211 yxByxA    = += 4/2xy bkxy ,4,044 21 2 kxxbkxx =+∴=−− 421 =+ xx 0 0( , )M x y 2 0 0 / 4y x= 1 2y x= 0 0 0 1 1, 2, 12k x x y= = ∴ = = 1 1( 2, 1)MA x y= − − 2 2( 2, 1)MB x y= − − AM BM⊥ 0AM BM = 05)()(2 21212121 =++−++− yyyyxxxx y x b= + , 4/2   = += xy bxy 0442 =−− bxx 2 212121 ,24,4 byybyybxx =+=+−= 0772 =−− bb O x 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）直线 过点 且与椭圆相交于 、 两点, 当 面积取得最大值时, 求直 线 的方程. 解：：（1）依题意有 ,且 ，结合 ， , 解得 ,所以椭圆方程为 ； （2）直线 的方程为 ， 联立直线的方程和椭圆的方程，得 ， 利用弦长公式计算 ， 利用点到直线距离公式计算 ， 所以 ， 利用换元法可求得当 时，面积取得最大值为 ， 所求直线方程为 . 22. (本小题满分 10 分) 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当 a﹤0 时，证明 ． 解：（1）f（x）的定义域为（0，+ ）， . 若 a≥0，则当 x∈（0，+ ）时， ，故 f（x）在（0，+ ）单调递增. l ( )0,2P A B AOB∆ l b c= 2 2 2ab = 2 2 2b c a+ = 2 2 2b c a+ = 2 2 22, 1a b c= = = 2 2 12 x y+ = l ( ) ( )1 1 2 22, , , ,y kx A x y B x y= + ( )2 21 2 8 6 0k x kx+ + + = 2 2 2 1 16 241 2 kAB kk += −+ 2 2 1 d k = + 2 2 2 2 1 16 24 2 2 2 3 2 1 2 1 2ABC k kS AB d k k∆ − −= = =+ +  14 2k = ± 2 2 14 2 4 0x y± − + = 2( )=ln (2 1)f x x ax a x+ + + ( )f x 3( ) 24f x a ≤ − − 若 a＜0，则当 x∈时， ；当 x∈时， .故 f（x）在单调递增，在单调递 减. （2）由（1）知，当 a＜0 时，f（x）在 取得最大值，最大值为 . 所以等价于，即 设 g（x）=lnx-x+1，则 当 x∈（0,1）时， ；当 x∈（1，+ ）时， .所以 g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+ ） 单调递减.故当 x=1 时，g（x）取得最大值，最大值为 g（1）=0.所以当 x＞0 时，g（x）≤0,. 从而当 a＜0 时，，即. 2017 年衡阳市八中高二 12 月份月考加试试题参考答案 数学（文科） 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷共 2 个解答题, 每题 10 分,共 20 分. 23. (本小题满分 10 分) （1）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10，…， 第 n 个三角形数为n（n＋1） 2 ＝1 2n2＋1 2n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部 分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数　N(n，3)＝1 2n2＋1 2n， 正方形数 N(n，4)＝n2， 五边形数 N(n，5)＝3 2n2－1 2n， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)＝____________. 解：三角形数　N(n，3)＝1 2n2＋1 2n＝n2＋n 2 ， 正方形数　N(n，4)＝n2＝2n2－0·n 2 ， 五边形数　N(n，5)＝3 2n2－1 2n＝3n2－n 2 ， 六边形数　N(n，6)＝2n2－n＝4n2－2n 2 ， k 边形数　N(n，k)＝ （k－2）n2－（k－4）n 2 ， 所以 N(10，24)＝22 × 102－20 × 10 2 ＝2 200－200 2 ＝1 000. （2）若 P0(x0，y0)在椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)外，过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1，P2，则 切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 ＋y0y b2 ＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0，y0)在 双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)外，过 P0 作双曲线的两条切线，切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程是________. 解：　设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1，P2 的切线方程分别是x1x a2 －y1y b2 ＝1，x2x a2 －y2y b2 ＝1. 因为 P0(x0，y0)在这两条切线上，故有x1x0 a2 －y1y0 b2 ＝1，x2x0 a2 －y2y0 b2 ＝1， 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0x a2 －y0y b2 ＝1 上， 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 －y0y b2 ＝1. 24. (本小题满分 10 分) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司 200 名员工中 90%的人使用微 信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信的时间在一 小时以上，若将员工分成青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段，那么使 用微信的人中 75%是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那 么经常使用微信的员工中2 3是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 2×2 列联表； 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 (2)由列联表中所得数据判断，是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？ 附：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） P(K2≥k0) 0.010 0.001 k0 6.635 10.828 解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有 200×90%＝180(人). 经常使用微信的有 180－60＝120(人)， 其中青年人有 120×2 3＝80(人)， 使用微信的人中青年人有 180×75%＝135(人)， 所以 2×2 列联表： 青年人 中年人 总计 经常使用微信 80 40 120 不经常使用微信 55 5 60 总计 135 45 180 (2)将列联表中数据代入公式可得： K2＝180 × （80 × 5－55 × 40）2 120 × 60 × 135 × 45 ≈13.333， 由于 13.333>10.828，所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.