【推荐】专题1-2 应用举例-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（必修5）

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为 A．500米 B．600米 C．700米 D．800米 ‎【答案】C ‎【解析】在中，由余弦定理得AB2=5002+3002－2×500×300cos120°=490 000．所以AB=700（米）．故选C．‎ ‎3．如图，某工程中要将一长为100 m、倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 A．100m B．100m C．50()m D．200 m ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为km，那么x的值为 A． B．2 C．3 D． 2或 ‎【答案】D ‎【解析】如图，若设出发点为A，AB=x，则有AC2=AB2+BC2－2AB·BC·cos30°，即()2=x2+32－2x·3cos30°，解得x=2或．故选D．‎ ‎5．三角形的两边长分别为3和5，其夹角的余弦值是方程的根，则该三角形的面积为 A．6 B． C．8 D．10‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由5x2－7x-6=0，可得x=2或x=，则cos =，所以sin=，‎ 则该三角形的面积S=×3×5×=6．故选A．‎ ‎6．如图，巡航艇在海上以的速度沿南偏东的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东，航行到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在中，，，，则，由正弦定理，可得．故选D．‎ ‎7．在中，已知A=30°，a=8，b=8，则的面积为 A． B．16 C．或16 D．或 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎8．一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的 A．北偏东75° B．北偏东75°或东偏南75°‎ C．东偏南75° D．以上方位都不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意画出示意图，如下图，由题意可知AB=32×=16，BS=8，A=30°．‎ 在中，由正弦定理，得 所以S=45°或135°，B=105°或15°，‎ 即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°．故选B．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎9．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为=30°，测得乙楼底部D的俯角=60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼的高__________米．‎ ‎【答案】32 ‎ ‎ ‎ ‎10．甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_______h．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意画出示意图，如图，假设t h后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以当t=，即航行时间为h时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近．‎ ‎11．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰____________触礁的危险．（填“有”或“没有”）‎ ‎【答案】没有 ‎ ‎ ‎12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600 m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度____________ m．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎13．如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，‎ ‎∠ACB=∠BDC=45°，DC =，求：‎ ‎（1）AB的长；‎ ‎（2）四边形ABCD的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°．‎ 又∠BDC=45°，所以∠DAC=180°－（75°+ 45°+ 30°）=30°，‎ 所以AD=DC =．‎ 在中，∠CBD=180°－（75°+ 45°）=60°，‎ 所以．‎ 在中，AB2=AD2+ BD2－2×AD×BD×cos75°= 5，所以AB=．‎ ‎（2）=×AD×BD×sin75°=．同理，=．‎ 所以四边形ABCD的面积．‎ ‎14．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．‎ ‎（1）求渔船甲的速度；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）21海里/小时；（2）．‎ ‎ ‎ ‎15．在中，角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求及的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1）由已知条件化简可得，即，‎ 由余弦定理的推论，可得，．‎ ‎ ‎