数学理卷·2018届广东省广州市南沙区第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届广东省广州市南沙区第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

南沙一中2016-2017学年高二年级下学期期中考试 理　科　数　学 试 题 ‎（满分150分，时间120分钟）‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上）‎ ‎1．下列求导运算正确的是（　　　　） ‎ A. 　　B. ‎ C. 　　　D. ‎ ‎2．是虚数单位，复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线的左，右焦点, 点在双曲线上, 且, 则等于 A． B． C．或 D．1或 ‎6．函数的单调递增区间是 A． B．（0，2） C．（1，3） D．‎ ‎7．设是函数的导函数, 的图象如左图所示,则的 y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ 图象最有可能是下图中的（ ）‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ A B C D ‎8．以下命题正确的个数为（ ）‎ ‎(1)命题“，” 的否定为真命题 ‎(2)命题“若，则”的逆命题为真命题；‎ ‎(3)命题“若，则”的否命题为真命题； ‎ ‎(4)命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项是（   ）‎ A．　　　　‎ B．‎ ‎　　C．　　Ｄ．　‎ 第10题 ‎10. 从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦 点，又点A是椭圆与轴正半轴的交点，点B是椭圆与轴正半轴 的交点，且为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）． ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知成立, 函数是减函数, 则是的（ ）．‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 　 （D）既不充分也不必要条件 ‎12. 如图，三棱柱中， 平面， ‎ ‎， 、分别为、‎ 的中点. 若平面平面，则直线 与平面所成角的正弦值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．）‎ ‎13．计算定积分的值 . ‎ ‎14．函数在上的最大值为 ‎ ‎15．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点．若，则的值为 ‎ ‎16．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.‎ 三、解答题：（本大题共6个大题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）. 求曲线在点处的切线方程 ‎18. （本小题满分12分）. 已知数列满足，且（）。‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。‎ ‎19．（本小题满分12分）. 如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.‎ ‎（特别提醒：两条对角线互相垂直的矩形是正方形）‎ ‎20．（本小题满分12分）. 已知函数的导函数为，.‎ ‎（1）若在处有极值，求的值 ‎（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎21．（本小题满分12分）. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。‎ ‎(1) 求双曲线C的方程；‎ ‎(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ ‎22．（本小题满分12分）. 已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ ‎13、；14、128；15、；16、4‎ ‎17、‎ ‎18、1），，‎ ‎（2）有成立。‎ ‎【解析】解：（1）由题得，又，‎ 则，，…………3分 ‎（2）猜想。 …………………………………5分 证明：①当时，，故命题成立。‎ ‎②假设当时命题成立，即………………………………7分 则当时，，‎ 故命题也成立。 …………………………………11分 综上，对一切有成立。 …………………………………12分 ‎19、、解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是. ‎ 法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3. ‎ 法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为. ‎ ‎20、（1）－1；（2） ‎ ‎ 即对一切恒成立即对一切恒成立 记，则在上恒成立，‎ ‎21、解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而 于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎22、（1）由题意，可得，‎ 当时，由得；‎ ‎　　　　　由得 综上所述：的单调递增区间为；‎ ‎　　　　　的单调递减区间为 ‎（2）由（1）知，当时，由得，递增；由得，递减；故有极大值为，极小值为，要使得在上有三个零点，需满足对任意恒成立。‎ 故即