2020高中数学 专题强化训练1 计数原理 新人教A版选修2-3

2020高中数学 专题强化训练1 计数原理 新人教A版选修2-3

专题强化训练(一)　计数原理 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．如图11所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有(　　)‎ 图11‎ A．9种　　　　　　　 B．10种 C．11种 D．12种 C　[分两类：第1类，R1断路时，若R4断路，R2，R3有4种可能，若R4不断路，则R2，R3至少有一个断路，有3种可能，故R1断路时有7种可能．‎ 第2类，R1不断路时，R4必断路，此时，R2，R3共有4种可能，则共有4＋7＝11种可能．]‎ ‎2．若C＝C，则的值为(　　)‎ ‎ 【导学号：95032100】‎ A．1 B．20‎ C．35 D．7‎ C　[若C＝C，则有n＝3＋4＝7.故＝＝＝35.]‎ ‎3．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有(　　)‎ A．18种 B．36种 C．48种 D．60种 D　[利用分类加法计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有C×C＝12种，第二类，当甲和另一个一起时，有C·C·C·A＝48种，‎ 所以共有12＋48＝60种．]‎ ‎4．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　) ‎ ‎【导学号：95032101】‎ 5‎ A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 B　[由题意知，不同的座次有AA＝48种，故选B.]‎ ‎5．如图12，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ 图12‎ A．24　　　　　　　 B．18‎ C．12 D．9‎ B　[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.‎ ‎]‎ 二、填空题 ‎6.的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)‎ ‎－56　[的通项Tr＋1＝C(x2)8－r＝(－1)rCx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)‎3C＝－56.]‎ ‎7．设(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a6＋a4＋a2＋a0的值为________. ‎ ‎【导学号：95032102】‎ ‎2080　[令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.‎ 令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4 096.‎ 两式相加得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160，‎ 所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080.]‎ 5‎ ‎8．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有________种不同的取法？‎ ‎33　[如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有‎3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有‎3C＋3＝33种．]‎ 三、解答题 ‎9．由－1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数. ‎ ‎【导学号：95032103】‎ ‎(1)开口向下的抛物线有几条？‎ ‎(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？‎ ‎(3)与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？‎ ‎[解]　(1)a＜0，a只能取－1，b，c有A种选法，共有A＝12(条)．‎ ‎(2)a＞0且c≠0，共有CCC＝27(条)．‎ ‎(3)ac＜0，当a＞0，c＜0时，a，b，c分别有C，C，C种选法；当a＜0，c＞0时，a，b，c有C，C，C种选法，共有CCC＋CCC＝18(条)．‎ ‎10．已知A＝‎40C，设f(x)＝.‎ ‎(1)求n的值．‎ ‎(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可)．‎ ‎(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可)．‎ ‎[解]　(1)由已知A＝‎40C，可得n(n－1)(n－2)(n－3)＝40·，求得n＝7.‎ ‎(2)f(x)＝的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x，令7－为整数，可得r＝0,3,6，故第1项、第4项、第7项为有理项．‎ ‎(3)由于f(x)的展开式中第r＋1项的系数为C·(－1)r，故当r＝4时，即第5项的系数最大；‎ 当r＝3时，即第4项的系数最小．‎ ‎[能力提升练]‎ 一、选择题 ‎1．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　) ‎ 5‎ ‎【导学号：95032104】‎ A．240种 B．180种 C．150种 D．540种 C　[5名同学可分为2,2,1和3,1,1两种方式：‎ 当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．‎ 由分类加法计数原理，共有90＋60＝150种不同保送方法．]‎ ‎2．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10　　　　　　　 B．20‎ C．30 D．60‎ C　[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]‎ 二、填空题 ‎3．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. ‎ ‎【导学号：95032105】‎ ‎3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.‎ 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]‎ ‎4．10件产品中有2件次品，8件合格品，从中任意取4件，至少有1件是次品的抽法有________种．‎ ‎140　[法一(直接法)：抽取的4件产品至少有1件次品分为有1件次品、2件次品2种情况，有1件次品的抽法有CC种；有2件次品的抽法有CC种．根据分类加法计数原理至少有1件次品的抽法共有CC＋CC＝140种．‎ 法二(间接法)：从10件产品中任意抽取4件，有C种抽法，其中没有次品的抽法有C种，因此至少有1件次品的抽法有C－C＝210－70＝140种．]‎ 三、解答题 ‎5．由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：‎ 5‎ ‎(1)43 251是第几项？‎ ‎(2)第93项是怎样的一个五位数？‎ ‎ 【导学号：95032106】‎ ‎[解]　(1)由题意知，共有五位数个数为A＝120，‎ 比43 251大的数有下列几类：‎ ‎①万位数是5的有A＝24个数；‎ ‎②万位数是4，千位数是5的有A＝6个数；‎ ‎③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A＝2个数；‎ 所以比43 251大的共有A＋A＋A＝32个数，‎ 所以43 251是第120－32＝88项．‎ ‎(2)从(1)知万位数是5的有A＝24个数，万位数是4，千位数是5的有A＝6个数，但比第93项大的数有120－93＝27个，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，从此可见第93项是45 213.‎ 5‎