专题10 圆锥曲线（高考押题）-2017年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破

专题10 圆锥曲线（高考押题）-2017年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破

‎1．已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是(　　)‎ A.　　　B．2 C．6　　　 D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.‎ ‎2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状(　　)‎ A．越接近于圆 B．越扁 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，又e2＝1－＝1－＝1－.因此当a∈(2－，1)时，e越来越大，当a∈(1,2＋)时，e越来越小，故选D.‎ ‎3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　) ‎ A．(1，＋∞) B．(2,3]‎ C．(1,3] D．(1,2]‎ ‎【答案】C ‎ 4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ A.　　　 B．1 ‎ C.　　　 D．2‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋‎ b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤.‎ ‎5．过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为(　　)‎ A．0　　　 B．2 ‎ C．4　　　 D．无数 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．‎ ‎6．椭圆y2＋＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D. ‎【答案】B　‎ ‎ 7．设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B． C. D. ‎【答案】A　‎ ‎【解析】因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有×2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.‎ ‎8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) ‎ A.＋＝1 B．＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】D　‎ ‎ ‎ ‎9．双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.‎ ‎10．已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.‎ ‎【答案】25　‎ ‎【解析】由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××(2a＋2c)＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.‎ ‎11．如图141，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．‎ 图141‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为△ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|－|BF1|＝2a，从而|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，整理得c2＝7a2，则e2＝7，从而e＝.‎ ‎12．设F1，F2是椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2＝________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由题意F1(－c,0)，F2(c,0)，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A点坐标为(c，b2)，设B(x，y)，‎ 则|AF1|＝3|F1B|，∴(－c－c，－b2)＝3(x＋c，y)，∴B，代入椭圆方程可得2＋＝1.∵1＝b2＋c2，∴b2＝.‎ ‎13．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎14．如图142，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.‎ 图142‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎ 15．在△ABC中，A(－1,0)，B(1,0)，若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)．‎ ‎(1)求动点C的轨迹方程；‎ ‎(2)已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．‎ ‎ 16．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°.‎ ‎ 图153‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图153，过右焦点F2，且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.试问k·k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【解析】　(1)由条件可知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.4分 ‎(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 由可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.5分 因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.6分 ‎ ‎ ‎17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. ‎ ‎【解析】　(1)由题意得∴故椭圆C的方程为＋＝1.4分 ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝，y1y2＝.6分 由A，P，M三点共线可知＝，∴yM＝.8分 同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝.10分 ‎∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝‎ ＝－.12分 ‎∴k1k2为定值－.‎ ‎18．已知椭圆M：＋＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；‎ ‎(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．‎ ‎ (3)当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝－1，‎ 此时D，C，△ABD，△ABC面积相等，|S1－S2|＝0，7分 当直线l斜率存在(显然k≠0)时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 和椭圆方程联立得到消掉y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，8分 显然Δ＞0，方程有根，且x1＋x2＝－，x1x2＝，9分 此时|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|‎ ‎＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝＝≤＝＝(k＝±时等号成立)，‎ 所以|S1－S2|的最大值为.12分 ‎19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.‎ 图154‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．‎ 所以·＝＝k2，即－＋m2＝0.8分 又m≠0，所以k2＝，即k＝±.9分 由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.‎ 设d为点O到直线l的距离，则d＝，10分 ‎|PQ|＝＝，11分 所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，‎ 故△OPQ面积的取值范围为(0,1).12分