【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（文）

【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（文）

四川省宜宾市第四中学2020-2021学年 高二上学期开学考试（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列结论正确的是（ ）‎ A．若直线，直线，则 B．若直线，则内的所有直线都与垂直 C．若直线不平行于，则内没有与平行的直线 D．若直线不垂直于，则内没有与垂直的直线 ‎5．已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎6．设为等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A．-6 B．-4 C．-2 D．2‎ ‎7．如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．设，向量，，若，则　　（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎10．设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎12．定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．直线的倾斜角为__________；‎ ‎14．已知点、、，则△的面积是________.‎ ‎15．已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是______.‎ ‎16．在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。‎ ‎17．（10分）已知直线：，直线：．‎ ‎（1）若直线与直线平行，求实数a的值；‎ ‎（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．‎ ‎18．（12分）如图，在中，已知点在边上，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎19．（12分）过点作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.‎ ‎（1）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（2）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程.‎ ‎20．（12分）如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎21．（12分）已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，，数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎22．（12分）已知函数， 且．‎ ‎（1）当时，设集合，求集合；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．D 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．C ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：已知直线：，直线：．‎ Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．‎ Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，‎ 两直线即直线：，直线：，‎ 由求得，直线与的交点坐标为 ‎18．解:(1)在中, , ，‎ 所以 .同理可得, .‎ 所以 ‎.‎ ‎(2)在中,由正弦定理得, . ‎ 又,所以.‎ 在中,由余弦定理得, ‎ ‎.‎ ‎19．(1)根据题意可设直线l的方程为,则,‎ 直线l过点,‎ ‎,‎ 又(当且仅当,即时取等号),‎ ‎,即,‎ 的最小值为8,此时直线l的方程为;‎ ‎(2)由(1)可知,‎ ‎,则,‎ ‎(当且仅当,即时取等号).‎ 的最小值为4,此时直线l的方程为.‎ ‎20．（Ⅰ）因为是中点，又因为平面，所以，由已知，所以是中点，所以，因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）因为平面，，所以平面，则，又因为平面，所以，则平面，由可得平面，因为 ，‎ 此时，，‎ 所以．‎ ‎21．（1）依题意，设等差数列的公差为，则有 将②代入①得，即，∵，∴，.∴.‎ 当时，，，‎ 当时，，∴.‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，.‎ ‎（2）∵，，①②‎ ‎①－②，得 ‎，∴.‎ ‎22（1）由时，.‎ 由得，即，解得，所以．‎ ‎（2）由得，‎ 所以，‎ 所以可转化为：在上恒成立，解得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎（3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于 ‎“，时，”．‎ ‎①当时，由题意可得函数为上的减函数，为上的增函数，‎ 故等价于，即，不等式无解；‎ ‎②当时，为上的增函数，为上的减函数，‎ 故等价于，即，‎ 解得．‎ 综上可得．所以实数的取值范围为．‎