2017-2018学年山东省邹平双语学校二区高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东省邹平双语学校二区高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

山东省邹平双语学校 2017—2018 第一学期高二第一次月考 数学（理科）试题 一．选择题（共 12 小题 60 分） 1. 一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是（ ） A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 【答案】D 2. 命题“若 a＞b，则 ac＞bc”的逆否命题是（ ） A. 若 a＞b，则 ac≤bc B. 若 ac≤bc，则 a≤b C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 a≤b，则 ac≤bc 【答案】B 【解析】因为 的否定是 ， 的否定是 ，所以命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ，故选 B. 3. 已知椭圆的方程为 ，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】略 4. 命题“ ∃ x0∈R， ”的否定是（ ） A. ∀ x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B. ∀ x∈R，x2﹣x﹣1＞0 C. ∃ x0∈R， D. ∃ x0∈R， 【答案】A 【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“ ∃ x0∈R， ”的否定是“ ∀ x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，选 A. 5. 已知命题 p：若 x＜﹣3，则 x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（ ） A. 命题 p 的逆命题是：若 x2﹣2x﹣8≤0，则 x＜﹣3 B. 命题 p 的否命题是：若 x≥﹣3，则 x2﹣2x﹣8＞0 C. 命题 p 的否命题是：若 x＜﹣3，则 x2﹣2x﹣8≤0 D. 命题 p 的逆否命题是真命题 【答案】D 【解析】命题 p：若 x＜﹣3，则 x2﹣2x﹣8＞0 的逆命题为：若 x2﹣2x﹣8＞0，则 x＜﹣3，A 错误； 命题 p：若 x＜﹣3，则 x2﹣2x﹣8＞0 的否命题为：若 ，则 ，B、C 错误；命题 p：若 x＜﹣3，则 x2﹣2x﹣8＞0 是真命题，则命题 p 的逆否命题是真命题,选 D. 6. 已知 p：4+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（ ） A. p 或 q 为真，非 q 为假 B. p 或 q 为真，非 p 为真 C. p 且 q 为假，非 p 为假 D. p 且 q 为假，p 或 q 为真 【答案】C 【解析】 ，可得 是假命题； ，可得命题 是真命题；可得： 且 为 假，非 为真，所以错误的是 ，故选 C. 7. 平面内有两定点 A、B 及动点 P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A. 甲是乙成立的充分不必要条件 B. 甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D. 甲是乙成立的非充分非必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：只有满足|PA|+|PB|是常数且常数大于两定点 A,B 的距离时，动点轨迹 才是椭圆，因此甲是乙成立的必要不充分条件 考点：椭圆定义及充分条件必要条件 8. 已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B （0，﹣4），C （0，4），则顶点 A 的轨迹方程是（ ） A. （x≠0） B. （x≠0） C. （x≠0） D. （x≠0） 【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值， 得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 解：∵△ABC 的周长为 20，顶点 B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点 A 的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴椭圆的方程是 故选 B． 考点：椭圆的定义． 9. 若 p∧q 是假命题，则（ ） A. p 是真命题，q 是假命题 B. p、q 均为假命题 C. p、q 至少有一个是假命题 D. p、q 至少有一个是真命题 【答案】C 【解析】试题分析：当 、 都是真命题 是真命题，其逆否命题为： 是假命题 、 至少有一个是假命题，可得 C 正确. 考点： 命题真假的判断. 10. 命题 p：若 ab=0，则 a=0；命题 q：3≥3，则（ ） A. “p 或 q”为假 B. “p 且 q”为真 C. p 真 q 假 D. p 假 q 真 【答案】D 【解析】试题分析：命题 p：b 可能为 0，a 不为 0，可知是假命题．命题 q：3=3，可得为 真命题．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 解：命题 p：b 可能为 0，a 不为 0，因此是假命题． 命题 q：3=3，因此为真命题， 所以“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题． 故选：D． 考点：复合命题的真假． 11. 已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的标准方程是（ ） A. +x2=1 B. +y2=1 或 x2+ =1 C. +y2=1 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】设椭圆方程为 ，椭圆过点 和点 ，则 ， ， 则此椭圆的标准方程是 ，选 A. 12. 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为 F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭 圆的方程为（ ） A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【答案】D 考点：椭圆的标准方程 二．填空题（共 4 小题 20 分） 13. 椭圆的短轴长为 6，焦距为 8，则它的长轴长等于_____． 【答案】10 【解析】 . 14. 命题“ ∃ x∈R，2x≥0”的否定是_____． 【答案】 【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“ ∃ x∈R，2x≥0”的否定 是 . 15. 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条 件”中，选出恰当的一种填空：“a=0”是“函数 f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的_____． 【答案】充要条件 【解析】当 时，函数 是偶函数，反过来函数 f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数， 则 ，则 对 恒成立，只需 ，则“a=0”是“函数 f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的充要条件. 16. 若方程 表示椭圆，则 m 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】方程 表示椭圆，则 ， ，即： 且 , 则 m 的取值范围是 . 三．解答题（共 6 小题 70 分） 17. 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标． 【答案】详见解析 【解析】试题分析：有关椭圆的简单几何性质问题，首先把椭圆方程化为标准方程，先得出 ，求出 ，根据 ，求出 ，然后写出长轴 ，短轴 ，计算离心率 ， 根据焦点的位置写出焦点的坐标，最后在写出四个顶点的坐标.一要注意焦点在那个轴上， 二要注意 和 和 的区别. 试题解析： 由题知 得 a=5，b=4，c=3， 所以长轴长 2a=10，短轴长：2b=8 离心率：e= ，焦点 F1（3，0）F2 （﹣3，0 ）， 顶点坐标 （5，0）、（﹣5，0）、（0，4）、（0，﹣4）． 18. 写出“若 x=2，则 x2﹣5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判其真假． 【答案】详见解析 【解析】试题分析：原命题“若 ，则 ”，它的逆命题为：“若 ，则 ”，它的否命题 为“若 则 ”，它的逆否命题为“若 ，则 ”，由于 时， 成 立，原命题为真命题 ， ，逆命题为假，根据互为逆否命题 同真假可判断出否命题和逆否命题的真假. 试题解析： 逆命题：若 x2﹣5x+6=0，则 x=2， 假命题； 否命题：若 x≠2，则 x2﹣5x+6≠0， 是假命题； 逆否命题：若 x2﹣5x+6≠0，则 x≠2， 是真命题． 【点睛】本题考查四种命题及四种命题的关系，命题“若 ，则 ”，它的逆命题为：“若 ， 则 ”，它的否命题为“若 则 ”，它的逆否命题为“若 ，则 ”，由于互为逆否 的两个命题同真假，所以只需判断两个命题的真假就够了，说明命题为真命题，需要证明其 成立，说明一个命题为假命题只需举一个反例. 19. 已知命题 p：x∈A，且 A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题 q：x∈B，且 B={x|x2﹣4x+3≥0} （Ⅰ）若 A∩B=∅，A∪B=R，求实数 a 的值； （Ⅱ）若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或 x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由 A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得 a=2， 所以满足 A∩B=∅，A∪B=R 的实数 a 的值为 2； （Ⅱ）因 p 是 q 的充分条件，所以 A ⊆ B，且 A≠∅，所以结合数轴可知， a+1≤1 或 a﹣1≥3，解得 a≤0，或 a≥4， 所以 p 是 q 的充分条件的实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 【解析】试题分析：首先化简集合 B，根据 A∩B=∅，A∪B=R，说明集合 A 为集合 B 在 R 下 的补集，根据要求列出方程求出 a,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p 是 q 的充 分条件说明集合 A 是集合 B 的子集，根据要求列出不等式组，解出 a 的范围. 试题解析： （Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或 x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由 A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得 a=2， 所以满足 A∩B=∅，A∪B=R 的实数 a 的值为 2； （Ⅱ）因 p 是 q 的充分条件，所以 A ⊆ B，且 A≠∅，所以结合数轴可知， a+1≤1 或 a﹣1≥3，解得 a≤0，或 a≥4， 所以 p 是 q 的充分条件的实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 20. 求过点（3，﹣2）且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆方程． 【答案】 【解析】试题分析： 本题为求椭圆的标准方程问题，待定系数法是求椭圆的标准方程最基本的方法，两个椭法圆 共焦点，求出已知椭圆的焦点坐标，借助 的值，得出所求椭圆的 关系，再利用椭圆 过点的坐标，满足椭圆的方程，列出方程解方程组求出 ，写出椭圆的方程. 试题解析： 椭圆 4x2+9y2﹣36=0， ∴焦点坐标为：（ ，0），（﹣ ，0），c= ， ∵椭圆的焦点与椭圆 4x2+9y2﹣36=0 有相同焦点 ∴椭圆的半焦距 c= ，即 a2﹣b2=5 ∵ ， ∴解得：a2=15，b2=10 ∴椭圆的标准方程为 . 【点睛】求椭圆的标准方程基本方法有三种：其一是待定系数法，根据题目所提供的条件列 出关于 的两个方程，再借助 解方程组求出 ，根据焦点的位置写出椭 圆的标准方程；其二已知椭圆经过的两个点的坐标时，可以设椭圆的方程为 ， 其三是定义法，已知焦点坐标和椭圆上一点时，直接用定义求出 ． 21. 已知命题 p：x2+mx+1=0 有两个不等的负根；命题 q：4x2+4（m﹣2）x+1=0 无实根．若命 题 p 与命题 q 有且只有一个为真，求实数 m 的取值范围． 【答案】m≥3，或 1＜m≤2 【解析】试题分析：根据题意，首先求得 p、q 为真时 m 的取值范围，再由题意 p，q 中有 且仅有一为真，一为假，分 p 假 q 真与 p 真 q 假两种情况分别讨论，最后综合可得答案 试题解析：若方程 x2＋mx＋1=0 有两不等的负根，则 解得 m＞2， 即命题 p：m＞2 若方程 4x2＋4（m－2）x＋1＝0 无实根， 则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0 解得：1＜m＜3．即 q：1＜m＜3． 因“p 或 q”为真，所以 p、q 至少有一为真， 又“p 且 q”为假，所以命题 p、q 至少有一为假， 因此，命题 p、q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真． ∴ 解得：m≥3 或 1＜m≤2． 考点：1．复合命题的真假；2．一元二次方程的根的分布与系数的关系 22. 椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条直线经过点 F1 与椭圆交于 A，B 两点． （1）求△ABF2 的周长； （2）若的倾斜角为 ，求弦长|AB|． 【答案】（1）8（2） 【解析】试题分析：解决椭圆问题要注意“勿忘定义”，根据椭圆的定义，把三角形周长看 成点Ａ到两焦点的距离和及点Ｂ到两焦点距离和，求椭圆的弦长利用弦长公式，一般设而不 求，把直线方程和椭圆方程联立方程组，借助根与系数的关系，利用 和 求弦长. 试题解析： （1）椭圆 ，a=2，b= ，c=1， 由椭圆的定义，得丨 AF1 丨+丨 AF2 丨=2a=4，丨 BF1 丨+丨 BF2 丨=2a=4， 又丨 AF1 丨+丨 BF1 丨=丨 AB 丨， ∴△ABF2 的周长为 ∴故△ABF2 点周长为 8； （2）由（1）可知，得 F1（﹣1，0）， ∵AB 的倾斜角为 ，则 AB 斜率为 1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 故直线 AB 的方程为 y=x+1. ，整理得：7y2﹣6y﹣9=0， 由韦达定理可知：y1+y2= ，y1•y2=﹣ ， 则由弦长公式丨 AB 丨= ， 弦长|AB|= ．