2020年高中数学第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

2020年高中数学第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

‎3.1.3‎‎ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：原式＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝.‎ 答案：C ‎2．若sin ＝，则cos 的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：cos ＝－cos ‎＝－cos ＝－ ‎＝2sin2－1＝－.‎ 答案：B ‎3．tan 67°30′－的值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ 解析：tan 67°30′－ ‎＝ ‎＝＝＝2.‎ 答案：C 7‎ ‎4．函数y＝2cos2－1是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：y＝2cos2－1‎ ‎＝cos ＝cos ＝sin 2x，‎ 所以T＝＝π，‎ 又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数．‎ 答案：A ‎5．设sin＝，则sin 2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：sin＝(sin θ＋cos θ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin 2θ)＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－.‎ 答案：A ‎6．若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.‎ 解析：由题意，2＋＋(2－)＝5sin θ，即sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知tan x＝2，则tan 2＝________.‎ 解析：∵tan x＝2，‎ ‎∴tan 2x＝＝－.‎ 7‎ tan 2＝tan ‎＝ ‎＝＝－＝.‎ 答案： ‎8．已知sin ＋cos ＝，则cos 2θ＝________.‎ 解析：由sin ＋cos ＝，两边平方整理，得1＋sin θ＝，‎ 即sin θ＝－，‎ cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知sin α＋cos α＝，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．‎ 解析：∵sin α＋cos α＝，‎ ‎∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0.‎ ‎∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.‎ ‎∴sin α－cos α＝＝＝.‎ ‎∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)‎ ‎＝×(－)＝－.‎ tan 2α＝＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，‎ 其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ 7‎ ‎(2)若f＝－，α∈，‎ 求sin 的值．‎ 解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，‎ 所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2 cos2x)，‎ 由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，所以有sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：因为<θ<3π，|cos θ|＝，‎ 所以cos θ<0，cos θ＝－，‎ 因为<<，‎ 所以sin <0.‎ 因为sin2＝＝，‎ 所以sin ＝－.‎ 答案：C ‎2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. 7‎ C．－ D．－ 解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2 α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，‎ 所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，‎ 解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－.‎ 答案：C ‎3．已知方程x2－x＋1＝0的一个根是2＋，则sin 2α＝________.‎ 解析：由题意可知 ‎(2＋)2－(2＋)＋1＝0，‎ 即8＋4－(2＋)＝0，‎ 所以(2＋)＝4(2＋)，‎ 所以sin 2α＝.‎ 答案： ‎4．设cos 2θ＝，则cos4θ＋sin4θ的值是________．‎ 解析：cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)‎ ‎＝＋cos22θ＝＋×2＝.‎ 答案： ‎5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)．‎ ‎(1)求tan 2α的值；‎ ‎(2)求2sin2－sin .‎ 解析：(1)由p∥q，‎ 可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，‎ 7‎ 整理得sin α＋cos α＝.‎ 因为α∈(0，π)，所以α∈，‎ 所以sin α－cos α ‎＝＝，‎ 解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)2sin2－sin ‎＝1－cos －sin ‎＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝.‎ ‎6．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，‎ 且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期．‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ 解析：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ＝2sin ＋λ，‎ 且直线x＝π是f(x)的图象的一条对称轴，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以ω＝＋.‎ 又因为ω∈，所以ω＝，‎ 所以f(x)的最小正周期为.‎ ‎(2)y＝f(x)的图象经过点，‎ 所以f＝0，‎ 7‎ 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，‎ 则f(x)＝2sin －，又x∈，‎ 则x－∈，所以函数f(x)在区间上的取值范围为 ‎[－1－，2－].‎ 7‎