数学文卷·2018届北京市朝阳区垂杨柳中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

数学文卷·2018届北京市朝阳区垂杨柳中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

北京市垂杨柳中学2016-2017学年度第一学期 高二年级数学（文科）期中考试题 一、选择题（每题5分，共12小题）‎ ‎1. 已知直线经过点和点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 因为直线经过点和点，所以直线的斜率为,故选A.‎ ‎2. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ A. （）（） B. （）（） C. （）（） D. （）（）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 在下列说法中，错误的是（ ）‎ A. 若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则 B. 若平面内的任一直线平行于平面，则 C. 若平面平面，任取直线，则必有 北京市垂杨柳中学2016-2017学年度第一学期 高二年级数学（文科）期中考试题 一、选择题（每题5分，共12小题）‎ ‎1. 已知直线经过点和点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 因为直线经过点和点，所以直线的斜率为,故选A.‎ ‎2. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ A. （）（） B. （）（） C. （）（） D. （）（）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 在下列说法中，错误的是（ ）‎ A. 若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则 B. 若平面内的任一直线平行于平面，则 C. 若平面平面，任取直线，则必有 D. 若平面平面，任取直线，则必有 ‎【答案】C ‎【解析】由，，得，∴是真命题．‎ 若内任一条直线都平行于，则与无公共点，由面面平行的定义知，‎ ‎∴是真命题．由，可得，或与相交（垂直或斜交），‎ ‎∴是假命题．若，，则，这是面面平行性质定理，∴是真命题．‎ 综上所述，故选．‎ ‎4. 已知经过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，则的周长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为椭圆的方程为，所以由椭圆的定义可得，周长为，故选A.‎ ‎5. 如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为和直线关于轴对称的直线，其斜率与直线的斜率相反，‎ 设所求直线为，又因为两直线在轴截距相等，所以所求直线方程为，故选．‎ ‎6. 圆和圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，∴两圆外离，故选 C．‎ ‎7. 过点的直线交圆与、两点，当最大时，直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】把圆的方程化为标准方程为，∴圆心坐标为，‎ 设直线的方程为，则直线过圆心时最大，又，把圆心坐标和的坐标代入得：，解得，则直线的方程为，即，故选．‎ ‎8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，‎ 它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎9. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的（ ）‎ A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，‎ ‎ ‎ 三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则面，而平面，∴‎ 而面，面，∴，又，∴面，而面，∴，同理可得，故为的垂心，故选C．‎ ‎10. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）‎ A. B. C. 快 D. 乐 ‎【答案】B ‎【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：‎ 由直观图可得这个正方体的下面是，故选B．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查空间线能力、抽象思维能力，属于难题.利用展开图复原几何体考查空间想象能力，要求较高，难度较大，好多同学对这种题型感到束手无策，解答该题型可以先固定一个面，采取多种方案逐一验证；也可以利用一种更直观的方法，就是自己动手，制作纸片模型.‎ ‎11. 给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行；‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面互相平行；‎ ‎③若直线，与同一平面所成的角相等，则，互相平行；‎ ‎④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线．‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线可以平行，也可以相交；垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交；所以 ①，②不对；若直线与同一平面所成的角相等，则可以相交、平行、异面.所以③不对；与都相交的两条直线相交时，可以共面.④也不对 ‎12. 已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：‎ 如图，，，‎ 所以，，‎ 所以 考点：球内接多面体 点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题．‎ 二、填空题（每题5分，共6小题）‎ ‎13. 已知点和，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为和，由两点间距离公式可得，故答案为.‎ ‎14. 已知，是两条异面直线，且，那么与的位置关系__________．‎ ‎【答案】相交或异面 ‎【解析】若，则由可得到，与，是两条异面直线矛盾，所以与可能相交；‎ 也可能异面，不可能平行，故与的位置关系为相交或异面．‎ ‎15. 设为圆上的动点，则到直线的距离的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线距离 ‎，‎ 圆上动点到直线距离最小值为 ‎．‎ 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎16. 以点为圆心，与直线相切的圆的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以点为圆心，与直线相切，圆心到直线的距离等于半径，即半径，所求圆的标准方程：，故答案为：．‎ 方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、点到直线距离公式，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.‎ ‎17. 一个正方体的顶点都在球面上，若正方体的棱长为，则球的表面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正方体的棱长为，正方体的体对角线的长为，也就是球的直径 ，∴球的表面积为，故答案为、．‎ ‎18. 已知经过点的直线被圆截得的弦长，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，即，‎ ‎，∴，‎ 三、解答题 ‎19. 若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：先求出直线与轴交于，与轴交于的坐标，中点就是圆心，再根据两点间距离公式求出，则半径为，从而可得以为直径的圆的方程.‎ ‎∴，‎ 试题解析：设直线与轴交于，与轴交于，‎ 令，令，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，圆心，‎ ‎∴．‎ ‎20. 如图，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理可得，从而根据直线与平面平行的判定定理可得结论；（2）根据等腰三角形性质可得，由平面平面可得，平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论；（3）根据等积变换.‎ 试题解析：（1）∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 综上所述，命题得证．‎ ‎（2）∵，为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 综上所述：命题得证．‎ ‎（3）在等腰直角三角形中，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.．‎ ‎21. 在长方体中，，是棱上的一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) 证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面，可得，在矩形中，可证得，根据线面垂直的判定定理即可证得平面；（2）由（1）可知，平面，根据线面垂直的性质可得；（3）假设点是棱的中点时，有平面，在上取中点，连接，‎ ‎，根据线面平行的性质定理可得四边形是平行四边形，所以．‎ 试题解析：（1）证明：在长方体中，‎ 因为平面，平面，所以．‎ 在矩形中，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面．‎ ‎（2）证明：因为，所以平面，‎ 由（1）可知，平面，‎ 所以．‎ ‎（3）解：当点是棱的中点时，有平面．‎ 理由如下：‎ 在上取中点，连接，，‎ 因为是棱的中点，是的中点，‎ 所以，且，‎ 又，且，‎ 所以，且，‎ 所以四边形是平行四边形，所以．‎ 又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 此时．‎ 考点：空间直线与平面的平行、垂直的判定与应用.‎ ‎22. 已知圆，及点．‎ ‎（1）在圆上，求线段的长及直线的斜率；‎ ‎（2）若为圆上任一点，求的最大值和最小值；‎ ‎（3）若实数，满足，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)；（2）,；（3），.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将P（a，a+1）代入C：x2+y2-4x-14y+45=0，中得a=4,所以p（4，5），|PQ|=，kpQ=‎ ‎（2）将圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，转化为标准形式(x-2)2+(y-7)2=(2)2圆心C（2，7）|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R，因为|QC|=4，所以2≤|MQ|≤6，所以|MQ|最小值为2，最大值为6‎ ‎（3）根据题意，实数m，n满足m2+n2-4m-14n+45=0，即满足(m-2)2+(n-7)2=(2)2，则（m，n）对应的点在以（2，7）为圆心，半径为2的圆上，分析可得K=表示该圆上的任意一点与Q（-2，3，）相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k，则其方程为y-3=k（x+2），又由d=，解得k=2±即2-≤K≤2+所以的最大值为，最小值为 考点：本题考查了点、线、圆的关系 点评：此类问题考查了直线与圆的方程的综合．考查了学生数形结合的思想，函数的思想，转化和化归的思想的运用．‎ ‎ ‎