陕西省榆林市第二中学2020届高三摸底考试数学（文）试题

陕西省榆林市第二中学2020届高三摸底考试数学（文）试题

文科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、报考号、座位号用钢笔填在答题卡相应的位置上.‎ ‎2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮撒干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）‎ A. B. 且 C. D. 且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合和集合，根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：；‎ 且 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解，关键是能够明确对数型和分式型函数定义域的要求，属于基础题.‎ ‎2.若复数是虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算法则可化简复数得，由共轭复数定义可得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.‎ ‎3.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：）‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. 24 D. 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图运行程序，直到满足时输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入 则，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，满足，输出结果：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题.‎ ‎4.已知变量满足约束条件 则的最小值为(　　)‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 8 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示，‎ 由得，平移直线，‎ 由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，‎ 直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．‎ 由，解得，故点A坐标为A(2, 2)．‎ ‎∴．选C．‎ ‎5.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简所求的表达式，通过三角函数的定义求解即可．‎ ‎【详解】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点P，‎ 则.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．‎ ‎6.已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.‎ 详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，‎ 若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，‎ 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 ‎7.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,‎ 矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，‎ 故该几何体的侧视图为D ‎8.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求.‎ ‎【详解】解：由题意知这是一个几何概型，‎ ‎∵电台整点报时，‎ ‎∴事件总数包含的时间长度是60，‎ ‎∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，‎ 由几何概型公式得到,‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.‎ ‎9.设，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性得出，而根据幂函数的单调性得出，从而得出的大小关系．‎ ‎【详解】解：因为，，所以，故选C.‎ ‎【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义，是一道基础题．‎ ‎10.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由等比数列的性质可得：，所以.‎ ‎.‎ 则，‎ 故选B.‎ ‎11.已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，将的最小值转化为焦点到直线的距离即可求得．‎ ‎【详解】解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，‎ 所以过焦点作直线的垂线，‎ 则该点到直线距离为最小值，如图所示；‎ 由，直线，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．‎ ‎12.定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“快乐数”定义可得数列的前项和；利用与关系可求得数列的通项公式，从而得到，采用裂项相消法可求得结果.‎ ‎【详解】设为数列的前项和 由“快乐数”定义可知：，即 当时，‎ 当且时，‎ 经验证可知满足 ‎ 数列的前项和为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到；从而利用与的关系求解出数列的通项公式.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知向量，，且，则 ________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ 又，‎ ‎∴．‎ 解得．‎ 答案：8‎ ‎14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______‎ 名学生．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.‎ ‎【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，‎ ‎∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.‎ 故答案60.‎ ‎15.数式中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则，则，取正值得.用类似方法可得__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，令已知式等于定值，再解方程求解即可.‎ ‎【详解】根据题意类比，令，‎ 两边平方得，，即，‎ 则，解得，或（舍去）.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于基础题.‎ ‎16.圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设所求圆的圆心为，半径为，利用两点间的距离公式可得，再利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心到直线x＋y＝1的距离，由此得到关于的方程，解方程即可求出圆心C的坐标，进而求出半径，代入圆的标准方程即可求解.‎ ‎【详解】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，‎ 所以可设圆心为，半径为，‎ 由题意知，，‎ 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得，，‎ 所以所求圆C的方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系求圆的标准方程、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力；熟练掌握点与圆、直线与圆的位置关系是求解本题的关键；属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.‎ ‎17.的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据 可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得：‎ ‎ ，又 ‎ ‎，即 由得：‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 又（当且仅当时取等号） ‎ 即 三角形面积的最大值为：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.‎ ‎18.年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由年底的下降到年底的，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，年至年我国贫困发生率的数据如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贫困发生率 ‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ ‎（1）从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于的概率；‎ ‎（2）设年份代码，利用线性回归方程，分析年至年贫困发生率与年份代码的相关情况，并预测年贫困发生率.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎(的值保留到小数点后三位）‎ ‎【答案】（1）；（2）回归直线为：；年至年贫困发生率逐年下降，平均每年下降；年的贫困发生率预计为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算出总体事件个数和符合题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）根据表中数据计算出最小二乘法所需数据，根据最小二乘法求得回归直线；根据回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系；代入求得年的预估值.‎ ‎【详解】（1）由数据表可知，贫困发生率低于的年份有个 从个贫困发生率中任选两个共有：种情况 选中的两个贫困发生率低于的情况共有：种情况 所求概率为：‎ ‎（2）由题意得：；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎， 线性回归直线为：‎ ‎ 年至年贫困发生率逐年下降，平均每年下降 当时，‎ 年的贫困发生率预计为 ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率问题的求解、最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.‎ ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠DAB=60°.‎ ‎(1)证明：AD⊥PB.‎ ‎(2)若PB=，AB=PA=2，求三棱锥P-BCD的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取AD的中点O, 连接P0，BO，BD，利用三线合一得出BO⊥AD，PO⊥AD，故AD⊥平面PBO，，于是AD⊥PB．（2）利用勾股定理得出PO⊥BO，可得PO⊥平面ABCD，用棱锥的体积公式计算即可 ‎【详解】(1)证明:取AD的中点O，连接P0，BO，BD，‎ ‎∵底面ABCD是等边三角形 ‎∴BO⊥AD，‎ 又∵PA=PD，即ΔPAD等腰三角形，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ 又∵POBO=0.‎ ‎∴AD⊥平面PBO，‎ 又∵PB平面PBO.‎ ‎∴AD⊥PB； ‎ ‎(2)解:AB=PA=2‎ ‎∴由（1）知ΔPAD是边长为2的正三角形，则PO=.‎ 又∵PB=，‎ ‎∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，‎ 又由(1)知，PO⊥AD.且BOAD=O.‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.‎ ‎∴‎ ‎∴三棱锥P-BCD的体积为1.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线经过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，设椭圆：，由椭圆定义，求得的值，进而得到的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）联立方程组，利用二次方程根与系数的关系，求得，，得到，，再由，根据，即可求解实数m的值，进而得出结论.‎ ‎【详解】（1）由题意，设椭圆：，焦距为，‎ 则，椭圆的另一个焦点为，‎ 由椭圆定义得，，，‎ 所以的方程.‎ ‎（2）由已知得，由得，‎ 当时，，，则，，‎ ‎，，‎ 由得，即，‎ 所以，，解得或，‎ ‎①当时，直线经过点，舍去；‎ ‎②当时，显然有，直线经过定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)若，求的单调区间；‎ ‎(2)若当时恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0‎ 可求的单调区间；‎ ‎(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－‎2a)x，从而对1－‎2a的符号进行讨论即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.‎ 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 ‎(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－‎2a)x，从而当1－‎2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)

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