浙江省东阳中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

浙江省东阳中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

‎2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高一（上）10月月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁UM）∩N＝（　　）‎ A．{2} B．{3} C．{2，3，4} D．{0，1，2，3，4}‎ ‎2．已知集合M＝{1，3}，N＝{x|0＜x＜3，x∈Z}，又P＝M∪N，那么集合P的真子集共有（　　）‎ A．3个 B．7个 C．8个 D．9个 ‎3．下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A． B． ‎ C．y＝x0与y＝1 D．‎ ‎4．下列正确的是（　　）‎ A．loga（x•y）＝logax•logay ‎ B．loga（x+y）＝logax+logay ‎ C．loga（x÷y）＝logax÷logay ‎ D．logax﹣logay＝loga（x•y﹣1）‎ ‎5．函数y＝3x与y＝﹣3﹣x 的图象关于（　　）对称．‎ A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．原点 ‎6．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）‎ A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2‎ ‎7．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意正实数x1，x2（x1≠x2），恒有＞0，则一定有（　　）‎ A．f（3）＞f（﹣5） B．f（﹣3）＜f（﹣5） ‎ C．f（﹣5）＞f（3） D．f（﹣3）＞f（﹣5）‎ ‎8．函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎9．已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（lg2）＝10，那么等于（　　）‎ A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．10‎ ‎10．已知函数F（x）＝ex满足F（x）＝g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.‎ ‎11．＝　 　，＝　 　．‎ ‎12．已知x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2＝　 　；x﹣x﹣1＝　 　．‎ ‎13．函数的单调递减区间是　 　；值域是　 　．‎ ‎14．已知f（3x+1）＝x2﹣2x，则f（4）＝　 　；f（x）的值域为　 　．‎ ‎15．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax﹣1﹣2的图象必过定点　 　．‎ ‎16．若f（x）＝x2﹣3x在[0，m]上的值域为，则m的取值范围为　 　．‎ ‎17．若f（x）＝|x2+（1﹣m）x+m﹣3|在x∈[﹣2，0]上是减函数，则m的取值范围是　 　．‎ 三．解答题：本大题共5小题，18题14分，其余各题15分，共74分.‎ ‎18．已知全集U＝R，集合，B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}‎ ‎（1）当a＝1时，求A∩B；‎ ‎（2）当集合A，B满足A∪B＝A时，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）用定义法证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．‎ ‎20．设函数．‎ ‎（1）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，+∞）时，求f（x）的值域．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）作出函数f（x）的图象，并写出其单调区间；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）＝m有一正一负两个实根，求实数m的取值范围．‎ ‎22．已知m∈R，函数f（x）＝﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．‎ ‎（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）；‎ ‎（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值为h（m），求h（m）的最大值．‎ ‎2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高一（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁UM）∩N＝（　　）‎ A．{2} B．{3} C．{2，3，4} D．{0，1，2，3，4}‎ ‎【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，‎ ‎∴∁UM＝{3，4}．‎ ‎∵N＝{2，3}，‎ ‎∴（∁UM）∩N＝{3}．‎ 故选：B．‎ ‎2．已知集合M＝{1，3}，N＝{x|0＜x＜3，x∈Z}，又P＝M∪N，那么集合P的真子集共有（　　）‎ A．3个 B．7个 C．8个 D．9个 ‎【解答】解：∵集合M＝{1，3}，N＝{x|0＜x＜3，x∈Z}＝{1，2}，‎ ‎∴P＝M∪N＝{1，2，3}，‎ 则P真子集的个数为23﹣1＝7．‎ 故选：B．‎ ‎3．下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A． B． ‎ C．y＝x0与y＝1 D．‎ ‎【解答】解：对于A，函数y＝|x﹣1|（x∈R），与函数y＝＝|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；‎ 对于B，函数y＝（x≥1），与函数y＝＝（x＞1）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于C，函数y＝x0＝1（x≠0），与函数y＝1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于D，函数y＝|x|（x∈R），与函数y＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数．‎ 故选：A．‎ ‎4．下列正确的是（　　）‎ A．loga（x•y）＝logax•logay ‎ B．loga（x+y）＝logax+logay ‎ C．loga（x÷y）＝logax÷logay ‎ D．logax﹣logay＝loga（x•y﹣1）‎ ‎【解答】解：loga（x•y）＝logax+logay≠logax•logay A错 ‎ loga（x+y）＝logax+logay 此式不成立 B错 ‎ loga（x÷y）＝logax﹣logay≠logax÷logay C错D对故选D logax﹣logay＝loga＝loga（x•y﹣1 ），D对 ‎ 故选D ‎5．函数y＝3x与y＝﹣3﹣x 的图象关于（　　）对称．‎ A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．原点 ‎【解答】解：在函数y＝3x的图象上取一点A（a，3a），‎ 可得点A对应函数y＝﹣3﹣x图象上的点A′（﹣a，﹣3a），‎ ‎∵A与A′关于原点对称，‎ ‎∴由点A的任意性，得函数y＝3x与y＝﹣3﹣x的图象关于原点对称，‎ 故选：D．‎ ‎6．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）‎ A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2‎ ‎【解答】解：∵3a＝2，∴a＝，‎ ‎∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎7．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意正实数x1，x2（x1≠x2），恒有＞0，则一定有（　　）‎ A．f（3）＞f（﹣5） B．f（﹣3）＜f（﹣5） ‎ C．f（﹣5）＞f（3） D．f（﹣3）＞f（﹣5）‎ ‎【解答】解：根据题意，对任意正实数x1，x2（x1≠x2），恒有＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ 又由f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，‎ 据此分析选项：‎ 对于选项A、C：不能判定f（3）与f（﹣5）的关系，则A、C不正确；‎ 对于选项B、D：f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，则f（﹣3）＞f（﹣5），则D正确，B不正确；‎ 故选：D．‎ ‎8．函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎【解答】解：由于f（x）＝，‎ 则当x＝0时，f（0）＝a2，‎ 由于f（0）是f（x）的最小值，‎ 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，‎ 则有a2≤x++a，x＞0恒成立，‎ 由x+≥2＝2，当且仅当x＝1取最小值2，‎ 则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．‎ 综上，a的取值范围为[0，2]．‎ 故选：D．‎ ‎9．已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（lg2）＝10，那么等于（　　）‎ A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．10‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，则f（﹣x）＝﹣（x5+ax3+bx）﹣8，‎ 则f（x）+f（﹣x）＝﹣16，‎ 又由lg＝﹣lg2，则f（lg2）+f（lg）＝f（lg2）+f（﹣lg2）＝﹣16，‎ 若f（lg2）＝10，则＝﹣16﹣10＝﹣26；‎ 故选：A．‎ ‎10．已知函数F（x）＝ex满足F（x）＝g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵F（x）＝g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，‎ ‎∴g（x）+h（x）＝ex，则g（﹣x）+h（﹣x）＝e﹣x，即g（x）﹣h（x）＝e﹣x，‎ 解得g（x）＝，h（x）＝，‎ 则∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，‎ 等价为﹣a•≥0 恒成立，‎ ‎∴a≤＝＝（ex﹣e﹣x）+，‎ 设t＝ex﹣e﹣x，则函数t＝ex﹣e﹣x在（0，2]上单调递增，‎ ‎∴0＜t≤e2﹣e﹣2，‎ 此时 不等式t+≥2，当且仅当t＝，即t＝时，取等号，∴a≤2，‎ 故选：B．‎ 二．填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.‎ ‎11．＝　﹣3　，＝　　．‎ ‎【解答】解：＝＝﹣3，‎ ‎＝1+﹣0.12×0.5＝1+﹣＝．‎ 故答案为：﹣3，．‎ ‎12．已知x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2＝　7　；x﹣x﹣1＝　　．‎ ‎【解答】解：∵x+x﹣1＝3，‎ ‎∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝9，‎ ‎∴x2+x﹣2＝7，‎ ‎∴（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝7﹣2＝5，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎13．函数的单调递减区间是　（﹣∞，1]　；值域是　[，+∞）　．‎ ‎【解答】解：令t＝1+2x﹣x2，该函数的对称轴方程为x＝1，图象是开口向下的抛物线，‎ ‎∴内层函数t＝1+2x﹣x2的增区间为（﹣∞，1]，‎ 又外层函数y＝为减函数，‎ ‎∴函数的单调递减区间是（﹣∞，1]；‎ 又t＝1+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+2≤2，‎ ‎∴≥．‎ 即函数的值域是[，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，1]；[，+∞）．‎ ‎14．已知f（3x+1）＝x2﹣2x，则f（4）＝　﹣1　；f（x）的值域为　[﹣1，+∞）　．‎ ‎【解答】解：令t＝3x+1，则，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（4）＝﹣1，由二次函数的性质有，f（x）≥﹣1，即值域为[﹣1，+∞）．‎ 故答案为：﹣1，[﹣1，+∞）．‎ ‎15．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax﹣1﹣2的图象必过定点　（1，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：∵a0＝1，‎ ‎∴令x﹣1＝0，则1﹣2＝﹣1，‎ 故x＝1，‎ 故函数f（x）＝ax﹣1﹣2的图象必过定点（1，﹣1）．‎ 故答案为（1，﹣1）．‎ ‎16．若f（x）＝x2﹣3x在[0，m]上的值域为，则m的取值范围为　　．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，‎ 函数f（x）对称轴为x＝，f（）＝﹣，‎ 当y＝0时，x＝0或3，‎ 函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[﹣，0]，‎ 则实数m的取值范围是[，3]．‎ 故答案为：[，3]．‎ ‎17．若f（x）＝|x2+（1﹣m）x+m﹣3|在x∈[﹣2，0]上是减函数，则m的取值范围是　（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）　．‎ ‎【解答】解：函数y＝x2+（1﹣m）x+m﹣3的判别式△＝（m﹣3）2+4＞0，‎ ‎∴x2+（1﹣m）x+m﹣3＝0有2个不等实数根，‎ 设这两个根为a、b，且a＜b，‎ ‎∵f（x）在[﹣2，0]上是减函数，‎ ‎∴a≥0 ①，如图（1）所示：‎ 或②，如图（2）所示．‎ 由①可得，‎ 即（m﹣1）2≥（m﹣3）2+4，解得m≥3；‎ 由②可得，解得m≤﹣3．‎ 综上可得，m的取值范围为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．‎ 三．解答题：本大题共5小题，18题14分，其余各题15分，共74分.‎ ‎18．已知全集U＝R，集合，B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}‎ ‎（1）当a＝1时，求A∩B；‎ ‎（2）当集合A，B满足A∪B＝A时，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）集合＝{x|3x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜3}，‎ a＝1时，集合B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}＝{x|1≤x≤3}；‎ 所以A∩B＝{x|1≤x＜3}；‎ ‎（2）当集合A，B满足A∪B＝A时，B⊆A，‎ 此时B≠∅，应满足，解得0＜a＜1；‎ 所以实数a的取值范围是0＜a＜1．‎ ‎19．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）用定义法证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．‎ ‎【解答】（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣＝，‎ ‎∵f（x）是R上的奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 即﹣f（x）＝，‎ ‎∴，‎ 当x＝0时，f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝0，‎ ‎∴‎ ‎（2）任取0＜x1＜x2，则 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎∵0＜x1＜x2，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，‎ 故f（x1）﹣f（x2）＜0，‎ ‎∴f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．‎ ‎20．设函数．‎ ‎（1）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，+∞）时，求f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，函数为奇函数，‎ 证明：函数，其定义域为R，‎ f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），‎ 故f（x）为奇函数；‎ ‎（2）根据题意，y＝＝，变形可得：（）x＝，‎ 又由x∈[﹣1，+∞），则（）x≥（）（﹣1）＝，‎ 则有≥，‎ 解可得：﹣≤y＜1，即函数的值域为[﹣，1）．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）作出函数f（x）的图象，并写出其单调区间；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）＝m有一正一负两个实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，函数＝，‎ 其图象如图：‎ 则f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1]，递减区间为[﹣1，+∞）；‎ ‎（2）根据题意，函数，f（0）＝﹣＝﹣，‎ 若关于x的方程f（x）＝m有一正一负两个实根，即函数y＝f（x）与直线y＝m有2个交点，且两个交点位于y轴的两侧，必有，‎ 即m的取值范围为．‎ ‎22．已知m∈R，函数f（x）＝﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．‎ ‎（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）；‎ ‎（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值为h（m），求h（m）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）＝﹣x2+（3﹣2m）x+2+m＝﹣（x﹣）2+2+m+（）2＝﹣（x﹣）2+，‎ 则对称轴为x＝，‎ 若0＜m≤，则0＜2m≤1，1≤＜，‎ 则函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，‎ 则当x＝1时，函数f（x）为最大值f（1）＝﹣1+3﹣2m+2+m＝4﹣m，‎ 当x＝﹣1时，函数f（x）为最小值f（﹣1）＝﹣1﹣3+2m+2+m＝3m﹣2，‎ ‎∵0＜m≤，∴0＜3m≤，﹣2＜3m﹣2≤﹣‎ 则|f（﹣1）|＝|3m﹣2|∈[，2），‎ f（1）＝4﹣m∈[，4），‎ 则|f（1）|＞|f（﹣1）|，‎ 即|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）＝f（1）＝4﹣m；‎ ‎（2）f（x）＝﹣x2+（3﹣2m）x+2+m＝﹣（x﹣）2+，‎ 则函数 对称轴为x＝，‎ 若0＜m≤1，则0＜2m≤2，≤＜，‎ 若m≤，即0＜m≤时，函数f（x）在[0，m]上单调递增，则最大值为h（m）＝f（m）＝﹣m2+（3﹣2m）m+2+m＝﹣3m2+4m+2．‎ 若m＞，即＜m≤1时，函数f（x）在[0，m]上不单调，此时当x＝时，函数f（x）取得最大值h（m）＝＝m2﹣2m+‎ 即h（m）＝，‎ 当0＜m≤时，h（m）＝﹣3m2+4m+2的对称轴为m＝＝．即当m＝‎ 时，函数h（m）取得最大值h（）＝﹣3×（）2+4×+2＝．‎ 当＜m≤1时，h（m）＝m2﹣2m+的对称轴为m＝1，此时函数h（m）为减函数，则函数h（m）＜h（）＝（）2﹣2×+＝．‎ ‎∵＞．‎ ‎∴h（m）的最大值是．‎