数学理卷·2018届天津市实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试试题（解析版）

数学理卷·2018届天津市实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试试题（解析版）

天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 , ,所以,选C.‎ ‎2. 已知复数，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,所以虚部是 ,选C.‎ ‎3. “”是“函数在区间上为增函数”的（ ）‎ A. 充分不必耍条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由函数在区间上为增函数得 ‎ 所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必耍条件,选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎4. 已知为偶函数，则可以取的一个值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5. 设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B.‎ 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.‎ ‎6. 已知点，则向量在向量上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，，所以向量在方向上的投影为 ‎ ，故选A．‎ 考点：平面向量的数量积的运算及向量的投影的概念．‎ ‎7. 已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎,选C.‎ 点睛：本题采用分组转化法求和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ ‎8. 已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作图,可知恰有4个零点，所以 ,选B.‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9. 已知复数是纯虚数，（为虚数单位)，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 所以 ‎ ‎10. 等比数列的前项和为，且成等差败列.若，则__________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎11. 设的内角，所对边的长分别是，且.则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎12. 若直线与曲线相切，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.‎ ‎13. 在平行四边形中，,为的中点，为平面内一点，若，则__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎14. 对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为单调递增函数, ,所以零点在[0,2]‎ 当时 舍去;‎ 当时 舍去;‎ 当时 ‎ 综上实数的取值范围是 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接讨论法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 是直线与函数图像的两个相邻的交点，且.‎ ‎（1）求的值和函数的单调增区间 ‎（2）在锐角中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先化简三角函数式的值，然后结合周期即可求得；‎ ‎(2)利用题意首先求得，然后结合面积公式可得，最后由余弦定理可得.‎ 试题解析：‎ ‎.‎ 由函数的图像及，得到函数的周期，解得.‎ ‎（Ⅱ）解：因为所以.‎ 又因为是锐角三角形，所以，‎ 即，解得.‎ 由，解得.‎ 由余弦定理得，即.‎ ‎16. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.‎ ‎（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；‎ ‎（2）记实验次数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知，袋子中共有8个球，记“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A，则根据古典概型计算公式，得.‎ ‎（2）由题意知，每次试验中不放回地摸出两个球，直到摸出的球中有红球，因为袋中只有两个红球，所以最多需要进行四次试验，第一次试验的结果可能有“一个红球一个白球”或“两个红球”，第二次试验要在第一次试验没有出红球情况下进行，则袋中剩下4个白球和2个红球，结果可能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，同理第三次试验要在前两次没有出现红球下进行，则袋中剩下2个白球和2个红球，结果能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，第四次试验要在前三次试验没有出现红球下进行，则袋中只剩下2个红球，结果为“两个红球”，所以的值为1、2、3、4，根据古典概型的计算公式，得，，，，从而可列出的分布列，并求出其数学期望.‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）由题意可知的值分别为1、2、3、4，则，，，‎ 所以的分布列为 的数学期望.‎ 考点：1.古典概率；2.随机变量的分布列、数学期望.‎ ‎17. 正数数列的前项和为，且，求 ‎（1）的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析:（1）先平方得，再根据和项与通项关系得，最后根据等差数列定义以及通项公式求解（2）因为，所以利用裂项相消法求和得，再根据数列单调性确定的取值范围.‎ 试题解析：（1）由，当带入得，‎ 两边平方得（1），‎ 时，（2），‎ ‎（1）-（2），得，‎ ‎，‎ 由正数数列，得，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴有；‎ ‎（2） ‎ 当，‎ ‎∴.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎18. 等差数列的前项和为，且，数列满足：，数列的前项和为 ‎（1）求等筹数列的通项公式及前项和为；‎ ‎（2求数列的通项公式及前项和为 ‎（3）设集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)..(2) ，.(3).‎ ‎【解析】试题分析：利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，‎ 先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式 根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围 解析：（1）设数列的公差为d，由题意知：解得 ‎， ‎ ‎（2）由题意得：‎ 当时 又也满足上式，故 故 ——①‎ ‎ ——②‎ ‎①－②得：‎ ‎＝‎ ‎ ‎ ‎（3）由（1）（2）知：，令 则，，，，‎ 当时，‎ 集合M的子集个数为16 中的元素个数为4‎ 的解的个数为4‎ ‎ ‎ 点睛：形如在求通项时要用累乘法，遇到通项为的数列在求和时用错位相减法，形如，其中、一个是等差数列一个是等比数列求和就用错位相减法。‎ ‎19. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线：与椭圆交于两点 ‎①若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎②若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)①.证明见解析，定点坐标为.②..‎ ‎ ‎ 试题解析：（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，‎ 当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，所以．‎ ‎，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）联立得，‎ ‎，得（*）‎ 设，，则，，‎ ‎（i），，由，得，‎ 所以，即，‎ 得，‎ 所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为．‎ ‎（ii）因为直线的斜率是直线，斜率的等比中项，所以，即，‎ 得，得，所以，又，所以，‎ 代入（*），得．‎ ‎．‎ 设点到直线的距离为，则，‎ 所以 ，‎ 当且仅当，即时，△面积取最大值．‎ 故△面积的取值范围为．‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】1．求定值问题常见的方法有两种 ‎（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．定点的探索与证明问题 ‎（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎ ‎20. 设函数 ‎（1）若在点处的切线斜率为，求的值；‎ ‎（2）当时，求的单调区间；‎ ‎（3）若，求证：在时，.‎ ‎【答案】(1)；(2)单调减区间为.单调增区间为；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出，通过在点处的切线斜率，可得，解得；（2）由（1）知：，结合导数分①、②‎ 两种情况讨论分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；；（3）通过变形，只需证明即可，利用，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.‎ 试题解析：（1）若在点处的切线斜率为，‎ ‎，‎ 得.‎ ‎（2）由 当时，令解得：‎ 当变化时，随变化情况如表：‎ 由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数 当时，，的单调减区间为 ‎ 所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为 当时，的单调减区间为 ‎（3）当时，要证，即证 令，只需证 ‎∵ ‎ 由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数 ‎∵，∴在内存在唯一的零点，‎ 也即在上有唯一零点 设的零点为，则，即，‎ 由的单调性知：‎ 当时，，为减函数 当时，，为增函数，‎ 所以当时.‎ ‎∴.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.‎ ‎ ‎ ‎ ‎