江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题

高二年级期初检测 数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，，利用交集的定义即可求出 ‎【详解】由题可得：，，‎ 所以 故答案选D ‎【点睛】本题考查集合交集的定义，属于基础题。‎ ‎2.已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．‎ ‎【详解】解：角α的终边经过点，‎ 则sinα，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎3.已知函数则（ ）‎ A. 3 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，分别求出和即可。‎ ‎【详解】由于函数，‎ 所以，，则，‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎4.若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）‎ A. 1 B. -1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由两直线垂直充要条件得： ，选C.‎ ‎5.中角的对边分别为,且,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：针对利用正弦定理边角互化可得，即，所以，所以.‎ 考点：本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.‎ ‎6.下列命题正确的是（ ）‎ A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 经过一条直线和一个点确定一个平面 D. 经过三点确定一个平面 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点，故可以确定一个平面；‎ 对于B:如果空间四边形，可以确定多个平面；‎ 对于C:点在线上，就确定多个平面；‎ 对于D:三点共线，能确定多个平面。‎ ‎【详解】对于A;两两相交不共点，所以有三个不共线的交点，根据公理，可以确定一个平面，故选项A正确；‎ 对于B:如果是空间四边形，可以确定多个平面，故选项B不正确；‎ 对于C:点在线上，就确定多个平面,故选项C不正确，；‎ 对于D:三点共线，能确定多个平面,故选项D不正确，所以本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了确定平面的问题。‎ ‎7.方程的解为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令，‎ ‎∵,.‎ ‎∴函数在区间上有零点。‎ ‎∴。选C。‎ ‎8.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎，选D.‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎9.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵函数 ，可得 ，  是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.‎ 点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．‎ ‎10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意可知圆锥的母线长，通过半径为，圆心角为的扇形，可以求出圆锥底面的周长，进而求出半径的长，利用勾股定理，计算求得圆锥的高。‎ ‎【详解】扇形的半径为，圆心角为，所以弧长，因此圆锥的底面周长为，所以圆锥底面半径=1，由题意可知圆锥的母线长为6，由勾股定理可知：‎ 圆锥的高故本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了求圆锥的高。解决本题的关键是圆锥与圆锥侧面展开图之间的联系。‎ ‎11.设，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正弦公式化简，分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简，利用降幂公式化简，从而可得结果.‎ ‎【详解】 ，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，从而可得在上为奇函数，则，再利用导数可得的单调性，利用单调性即可求出的解，从而得到答案 ‎【详解】构造函数，即，‎ 则 所以在上为奇函数，‎ 由于 ‎ ‎ 所以，则在上为增函数，‎ 由于，可得，即，即，‎ 因为在上为增函数，所以，解得：，‎ 所以的解集为，‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查对数的运算，奇偶函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的运用，有一定的综合性。‎ 二、填空题：将答案填在指定的位置上。‎ ‎13.已知数列满足，且，则______．过点且与原点的距离为1的直线共有______条．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由已知条件根据递推公式，依次求出数列的前4项，从而得到数列是以3为周期的数列，由此求出 ‎②分别讨论斜率存在和不存在情况下，直线的条数，即可得到答案。‎ ‎【详解】①数列满足，且，‎ ‎，，，…‎ 所以数列是以3为周期数列，又，故 ‎②当斜率不存在时，直线的方程为，显然到原点的距离为1，满足条件；‎ 当斜率存在时，设过点的直线方程为：，即，‎ 由已知可得：，解得：，此时有一条直线满足条件，‎ 综述可得过点且与原点的距离为1的直线共有2条。‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式以及直线方程的求法，属于基础题。‎ ‎14.已知关于的不等式的解集为，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎ 为方程两根,因此 ‎ ‎15.三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AC中点G，连接DG，BG，得到两个三角形中心E，F，进而得到球心O，三角形OEB中，求得半径，得解．‎ ‎【详解】如图，取AC中点G，连接DG，BG，‎ E，F分别为中心，外接球球心为O，‎ 易知OEGF为正方形，‎ 求得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】此题考查了三棱锥外接球，难度适中．‎ ‎16.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为与的夹角为钝角，所以，即，解得．‎ 当与反向时，夹角为，此时，即，解得．‎ 综上可得且，故实数的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为时，‎ ‎；当夹角为时，，这是容易忽略的地方．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在中，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接使用余弦定理即可得解；‎ ‎（2）法1：由（1）可以求出，由三角形内角和定理，可以求出的关系，用正弦定理，求出,进而求出，也就求出，，最后求出的值；‎ 法2：直接利用余弦定理得，，再利用同角的三角函数关系，求出，最后利用二角差的余弦公式求出的值。‎ ‎【详解】解：(1)由余弦定理得：，‎ 因为，所以． ‎ ‎(2)法1 由正弦定理得：，‎ 所以．‎ 又因为，所以 即，所以 所以，‎ ‎．‎ 因为．所以，所以，‎ 所以 ‎ 法2 直接利用余弦定理得，‎ 求得，所以 ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理。‎ ‎18.已知数列满足：，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和，求证：．‎ ‎【答案】（1）（）．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，可得，两者相减，即可得到数列的通项公式，‎ ‎（2）由（1）得，利用裂项相消求出，从而可证 ‎【详解】（1）由已知得 由，①‎ 得时，，②‎ ‎①-②得 ‎∴，‎ 也适合此式，‎ ‎∴（）．‎ ‎（2）由（1）得，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推，考查数列的通项与求和，考查数列求和方法中的裂项相消，属于中档题。‎ ‎19.已知函数的最小正周期为．‎ 求函数的单调递增区间；‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上零点的和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性，得出结论；‎ ‎（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x ‎）的解析式，再根据正弦函数的零点的定义求出求函数g（x）在区间[0，5π]上零点的和．‎ ‎【详解】解：函数的最小正周期为，，‎ 令，求得，可得函数的增区间为，．‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，可得  的图象；‎ 再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．‎ 令，求得，，，．‎ 函数在区间上零点的和为．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．‎ ‎20.已知三棱锥中，，.若平面分别与棱、、、相交于点、、、，且平面， ‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明 ，可以证明平面；‎ ‎（2）由已知线面平行，可以证出线线平行，利用线面平行的判定定理，可以证明出线面平行。‎ ‎【详解】（1）∵，.‎ 又平面，平面，， ‎ ‎∴平面. ‎ 又 ‎∴ .‎ ‎（2）∵平面，平面平面 ，平面 ‎∴‎ 又，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了线线垂直、线面平行。‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆半径为1， 圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.‎ ‎【详解】（1）由得圆心，‎ ‎∵圆的半径为1，‎ ‎∴圆的方程为：，‎ 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴或．‎ ‎∴所求圆的切线方程为或．‎ ‎（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，‎ 则圆的方程为．‎ 又∵，‎ ‎∴设为，则，整理得，设为圆．‎ 所以点应该既圆上又在圆上，即圆和圆有交点，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 由，得．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.‎ 转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.‎ ‎22.如图，是⊙的直径，点是⊙上的动点，垂直于⊙所在的平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）设，，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是⊙的直径，可以得到线线垂直。再由已知线面垂直，得到另一组线线垂直，利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证出面面垂直。‎ ‎（2）过点作的垂线，垂足为，利用等积法，可以求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】（1）∵是⊙的直径，点是⊙上的动点，‎ ‎∴，即．‎ 又∵垂直于⊙所在的平面，平面⊙，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（2）由（1）知平面平面，平面平面，‎ 过点作的垂线，垂足为，显然平面，‎ 即为三棱锥的高 在中，，所以，‎ 由，得 即点到平面的距离为，‎ 三棱锥的高为 ‎【点睛】本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质，同时也考查了利用等积法求点到面距离。‎ ‎23.已知圆经过两点，，且圆心在直线：上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）当点变化时，以为直径的圆经过定点 ‎．证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆圆心为，由求得的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；‎ ‎（2）设（），由条件求得，的坐标，可得圆的方程，再根据定点在轴上，求出定点的坐标。‎ ‎【详解】（1）设圆圆心为，‎ 由得，，‎ 解得，∴， ‎ 半径为，‎ 所以圆：‎ ‎（2）设（），则．‎ 又，，‎ 所以：，，‎ ‎：，．‎ 圆的方程为．‎ 化简得，‎ 由动点关于轴的对称性可知，定点必在轴上，‎ 令，得．又点在圆内，‎ 所以当点变化时，以为直径的圆经过定点．‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆经过定点问题，体现了转化的思想，属于中档题。‎ ‎ ‎