安徽省阜阳第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（理）试卷

安徽省阜阳第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（理）试卷

阜阳一中2018—2019学年高二年级（下）‎ 理科数学月考试卷 命题人： 审题人： ‎ 说明：1.考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试时间2019.4.6‎ ‎ 2.答题前把答题卷上的所有信息填涂完整，并把所有答案写在答题卡上 一．选择题（共12题，每题5分，共计60份。在每小题的四个选项中，只有一个正确答案 ‎（温馨提示：认真审题）‎ ‎1．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ）‎ ‎; ; 的共轭复数为； 的虚部为i. ‎ A．, B． C． D．‎ ‎2．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ） A． B． C． D．‎ ‎3．下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ）‎ A．直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类比推出:向量，若，则.‎ B．同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.‎ C．以点为圆心,为半径的圆的方程为.类比推出:以点为球心,为半径的球面的方程为.‎ D．实数,若方程有实数根,则.类比推出:复数,若方程有实数根,则.‎ ‎4．现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（　 　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎5．，则T的值为（ ） A． B． C． D．1‎ ‎6．若函数在其定义域内的一个子区间 上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．‎ ‎7．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• •曼德尔布罗特( )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )‎ A．55个 B．89个 C．144个 D．233个 ‎8．函数 的大致图象是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9已知函数下列结论中①②函数的图象是中心对称图形 ③若是的极小值点，则在区间单调递减 ④若是的极值点，则. 正确的个数有( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设定义在上的函数的导函数为，且满足， ，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).‎ A． B． C． D．‎ 三、填空题 ‎13．如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．‎ ‎14．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有__________种．‎ ‎15．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为__________．‎ ‎16．已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为________‎ 二、解答题 ‎17.（10分）选择适当的证明方法证明下列问题 ‎（1）设是公比为的等比数列且，证明数列不是等比数列.‎ ‎（2）设为虚数单位，为正整数，,证明：‎ ‎18.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：‎ ‎（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？‎ ‎（2）首尾不排教师，有多少种排法？‎ ‎（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？‎ ‎（4）两名教师不能相邻的排法有多少种？‎ ‎（上述问题写出相应的计算过程与结果，每问3分.若只写结果每问2分)‎ ‎19．已知函数，‎ ‎（1）当时，求的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求在区间上的极大值与极小值．‎ ‎20．已知函数在处的切线方程.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时 ‎21．已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若，判断函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围 ‎理科数学答案 一．选择题 ‎1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D ‎11．B 12．A 二：填空题 ‎13． 14．24 15．6 16．‎ ‎17（1）用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列.‎ ‎①当存在，使得成立时，列不是等比数列.‎ ‎②当，使得成立时，则，‎ 化为.‎ ‎ ，，，故矛盾.‎ 综上两种情况，假设不成立，故原结论成立.............5分 ‎（2）1°当时，左边，右边，‎ 所以命题成立 ‎2°假设当时，命题成立，‎ 即，‎ 则当时，‎ ‎ ‎ 所以，当时，命题也成立 综上所述，（为正整数）成立.........5分 ‎，‎ ‎18.（1）； （2）； （3）； （4）.‎ ‎19（Ⅰ）的定义域为，当时，‎ ‎，‎ ‎，的单调递减区间为；.....5分 ‎（Ⅱ），，‎ ‎，在是增函数，在为减函数，在为增函数，‎ 极大值，极小值........12分 ‎20.（Ⅰ），由题设 ......4分 ‎（Ⅱ）实际上是证明时，的图象在切线的上方.‎ 令 ，，则，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；在唯一的极小值.‎ 注意到，，而，所以，所以；‎ 又因为在上单调递减，所以存在在唯一的使得；‎ 因此当或者时，，当时，；‎ 所以当或者时，单调递增，当时，单调递减；‎ 由于，所以，当且仅当时等号成立；‎ 所以时，不等式成立....................12分 ‎21.解：函数的定义域为.‎ f’(x)=,.（I）若，f’(1)=3，且,‎ 所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.......4分 ‎（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，（舍）.‎ x,f(x), f’(x)变化情况如下表：‎ x ‎(0,a)‎ a f’(x)‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎)=a-2alna.‎ ‎①当，即时，无零点.‎ ‎②当，即时，只有一个零点.‎ ‎③当，即时，....7分 因为>0，,且在上单调递减，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 在上，，.‎ 因为，所以，即.‎ 又，且在上单调递增，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 所以当时，有两个零点......11分 综上：时，无零点；‎ 时，只有一个零点；‎ 时，有两个零点.....12分 ‎22（1）的定义域为 ‎∵，，‎ ‎∴当时，；时，‎ ‎∴函数在上单调递减；在上单调递增.......4分 ‎（2）当时， ‎ 由题意，在上恒成立 ‎①若，当时，显然有恒成立；不符题意.‎ ‎②若，记，则,‎ 显然在单调递增，‎ ‎（i）当时，当时，‎ ‎∴时，.....8分 ‎（ii）当，，‎ ‎∴存在，使.‎ 当时，，时，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增 ‎∴当时，，不符合题意 综上所述，所求的取值范围是...12分