2018-2019学年江西省会昌中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省会昌中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省会昌中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）‎ A． 若， ，则 B． 若， ， ，则 C． 若， ，则 D． 若， ，则 ‎【答案】B ‎【解析】A选项不正确，因为b⊂α是可能的；‎ B选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的；‎ C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；‎ D选项不正确,因为α⊥β,a∥α时,a∥β，a⊂β都是可能的。‎ 故选：B.‎ ‎2．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 A． B． ‎ C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当焦点在轴时，设方程为，代入点 ，所以方程为，同理焦点在轴时方程为 考点：抛物线方程 ‎3．“”是“直线与直线平行”的（　　）‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 ‎【详解】‎ 当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行，‎ 当m=0时，直线方程分别为：， ，两直线不平行；‎ 当3m - 4=0，即时，直线方程分别为： ，2x+y+3=0，两直线不平行； ‎ 由直线与直线平行，可知两直线斜率相等，‎ 即 ，解得m=2或m=4；‎ 当m=2时，两直线重合，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 考查存在斜率的两直线平行的充要条件，根据直线方程求直线斜率，以及充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念,注意求出m值后，代入直线方程，验证两直线是否重合，直线平行不包括直线重合这一情况.‎ ‎4．已知||＝1，||＝，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，所以向量与向量的夹角为，选Ｂ．‎ 考点：向量夹角 视频 ‎5．某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解 ‎【详解】‎ 由框图程序可知 因为，‎ 所以 所以，解得，即当时程序退出，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎6．等差数列的前n项和为Sn，若S5=5，那么的最小值为（ ）‎ A． 4 B． 2 C． 2 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的前项和公式，即，由， ，当且仅当，即，取“”，∴的最小值4，故选A.‎ ‎7．在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若，则△ABC是（ ）‎ A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等腰直角三角形 D． 直角三角形或等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得acosA=bcosB，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ 由条件可得：=，‎ 所以由正弦定理可得：，‎ 整理可得：acosA=bcosB，‎ 所以sinAcosA=sinBcosB，所以2A=2B或2A=π﹣2B，‎ 所以A=B或A+B=90°．‎ 所以三角形是等腰三角形或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.‎ ‎8．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由成等差数列可得，，即，也就是，所以等比数列的公比，从而，故选C.‎ 考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前项和.‎ ‎9．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，‎ 如图所示，‎ 截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。‎ ‎10．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理与面积公式结合条件可得∠A的值，然后利用正弦定理可得外接圆的直径，进而得到外接圆的面积.‎ ‎【详解】‎ 在中，由余弦定理，得，既有 ，又由面积公式，得，即有，又，所以 ‎，所以.因为，所以，又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎11．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）‎ A． 2 B． C． D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的渐近线互相垂直可得渐近线为，故；根据定点到渐近线的距离为1可得，于是得到焦点坐标，最后根据点到直线的距离公式可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线的两条渐近线互相垂直，‎ ‎∴渐近线方程为，‎ ‎∴．‎ ‎∵顶点到一条渐近线的距离为1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的方程为，焦点坐标为，‎ ‎∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解．‎ ‎12．如图, 在正方体中, , 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体结构特征，易得体对角线，取中点，则为所求截面，再进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，连接交于，取中点，连接、、和，‎ 易得，，‎ ‎ ；‎ ‎ ，‎ ‎ 为平面截该正方体所得截面，且；‎ ‎ ，‎ ‎ ，，；‎ ‎ ，即平面截该正方体所得截面的面积为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的判定，考查正方体的结构特征，借助正方体的结构正确的判定垂直平面的位置是解题关键.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．为了了解高一(10)班53名同学的牙齿健康状况,需从中抽取10名同学做医学检验,现已对53名同学编号为00,01,02,…,50,51,52.从下面所给的随机数表的第1行第3列的5开始从左向右读下去,则选取的第5个号码为_________。‎ 随机数表如下:‎ ‎0154　3287　6595　4287　5346‎ ‎7953　2586　5741　3369　8324‎ ‎4597　7386　5244　3578　6241‎ ‎【答案】41‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次向右读取两位数，大于52的数据应舍去，与前面取到的数据重复的也舍去，直到取足10个样本号码为止．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，52个个体编号为00，01，…，52，现从中抽取一容量为10的样本，‎ 从下面随机数表的第1行第3列的5开始，向右读，所取的号码为32,42,46,25,41,33,24,45,52,44．‎ 故答案为：08，02，14，07，43，28‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．‎ ‎14．已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式恒成立，可得恒成立，故 ‎，由线性规划求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 由不等式恒成立，可得恒成立，故．‎ 作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值 ‎，所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15．给出下列三种说法：‎ ‎①命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧()”是假命题．‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3.‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．‎ 其中所有正确说法的序号为________________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且¬q”为假命题.‎ ‎②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0.则l1⊥l2的充要条件为 ‎＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足＝−3，故本命题不对.‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；‎ 考点：复合命题的真假；四种命题 ‎16．已知双曲线的左、右焦点分别为点，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点P，若，则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线与抛物线的图象，结合抛物线定义，表示出P的坐标，进而求解双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 抛物线y2=4cx与双曲线的右焦点F2（c，0）相同,如图，‎ 已知|PF2|=|F1F2|，由抛物线定义可知，PF2垂直于x轴，故P（c，2c），‎ ‎∵P在双曲线上，∴ 由 ，‎ 得，解得 ‎ ‎∵e＞1，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和双曲线的方程，根据点满足双曲线的方程，得到关于a,b,c的方程，结合双曲线a,b,c的关系，转化为关于离心率的方程，进而求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设：实数满足，其中； ：实数使得方程表示双曲线.‎ ‎（1）当时，若“”为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得，再根据双曲线方程特点得，最后求并集得结果（2）根据a讨论，再根据是真子集得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，‎ 由，解得, ‎ 由 ，解得. ‎ 因为“”为真， .‎ ‎∴实数的值取值范围是. ‎ ‎（2）是的充分不必要条件等价于若是的充分不必要条件， ‎ 由（1）知，条件对应的集合为： .‎ 记满足条件的实数的集合为 ‎ 由题意. ‎ 当时， ，满足；‎ 当时， ，满足；‎ 当时， ，要使，只需或，‎ 所以或. ‎ 综上实数的取值范围为： 或. ‎ ‎18．在中，内角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）证明：成等差数列； ‎ ‎（2）已知的面积为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理和余弦定理化已知条件的边为角，再由两角和的正弦公式化简，最后再用正弦定理化角为边，可证得结论；‎ ‎（2）由同角关系得，由面积公式可得，再由余弦定理及（1）可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题设，‎ 即 ‎ 由三角形内角和定理有由正弦定理有 成等差数列 ‎（2）由得，根据，‎ 由余弦定理又由(1)得，代入得 ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化是解题地基本方法．当等式两边是关于边或关于角的齐次式时，可以利用正弦定理进行边角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．‎ ‎19．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；‎ ‎（III）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．‎ ‎【答案】（1）a=0.40（2）2.06（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由频率和为1列方程求出a的值； （II）利用中位数两边频率相等求出中位数的大小； （III）采用分层抽样求出两组抽取的人数，再利用基本事件计算所求的概率值．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．‎ 同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02‎ 由 解得a=0.40．‎ ‎（II）解：设“活动时间”的中位数为m小时．‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．‎ 由0.50×（m2）=0.50.47，解得m=2.06．‎ 所以估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．‎ ‎（III）解：由题意得平均户外活动时间在[1.5，2），[2，2.5）中的人数分别有20人、25人，按分层抽样的方法分别抽取4人、5人，记作A，B，C，D及a，b，c，d，e从9人中随机抽取2人，共有36种，分别为：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（B，e），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（C，e），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（D，e），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）‎ 在同一组的有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d）（c，e），（d，e）．共16种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎20．已知数列的前n项和为，且满足 ‎（1）求数列的通项公式和前n项和；‎ ‎（2）设，令，求 ‎【答案】(1) ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件，推出数列是等比数列，然后求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;‎ ‎(2)化简=n，利用裂项相消法，求得Tn。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知 则，‎ ‎∴ 即,所以 为公比的等比数列 令 则所以 .‎ ‎（2），则 ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 已知与的关系求，一般分n=1与n≥2两种情况讨论，特别注意=中需n≥2.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点. ‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求证：面；‎ ‎（3）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）见解析.‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中点和平行四边形性质得出，利用直线平面的平行问题求解证明即可；（2）根据几何图形得出，直线平面的垂直得出，再运用判定定理求解证明即可；（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：作交于．‎ ‎∵点为中点，∴，‎ ‎∵，∴，∴为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴直线平面．‎ ‎（2）∵底面是菱形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴‎ ‎∵，∴平面；‎ ‎（3）连接，，∵点，分别为和中点，∴，‎ ‎∵平面，∴平面，‎ 根据直线与平面所成角的定义可得：为与平面所成角或补角，‎ 中，，，，，‎ ‎∴，∴与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，直线，直线，平面之间的转化问题．‎ ‎22．已知椭圆C的方程为，P在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于M，N，连接并延长交椭圆C于D,E,连接DE，指出与之间的关系，并说明理由．‎ ‎【答案】(1) ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知面积倍数关系，得,结合椭圆a,b,c的关系，得b=c，根据点在椭圆上，‎ 可得，求得a，b的值，即可得椭圆方程;‎ ‎(2)设A（x0，y0），则B（-x0，-y0），设D（x1，y1），E（x2，y2），可得,,进而求得=3.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 的面积是的面积的 倍，可得，即 ，‎ 又，所以 ，‎ 由在椭圆上，可得 ，所以，可得 ，‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设 ，则，‎ 故直线MD的方程为 ，‎ 由消去整理得 ， ‎ 又，代入上式化简得 ，‎ 设 ，则，所以，‎ 又直线NE的方程为，同理可得． ‎ 所以 ‎ ‎，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，在解题过程中，通常采用“设而不求”的方法，考查转化思想以及计算能力, 本题计算较为复杂，有一定难度.‎