2019-2020学年重庆市第十八中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市第十八中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市第十八中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知集合A,B，取交集即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 集合，集合，‎ 则 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2．已知，则（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接代入x=0求解函数值即可．‎ ‎【详解】‎ f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，‎ ‎∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．‎ ‎∴f（1）=2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，‎ 则有，‎ 解得，‎ 函数的定义域是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4．下列函数中哪个与函数相等 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．‎ ‎【详解】‎ A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．‎ B．函数的定义域为R，，‎ 所以两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．‎ C．函数的定义域为R，y＝|x|，对应关系不一致．‎ D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数，属于基础题．‎ ‎5．计算式子的值为（ ）‎ A．—1 B． C．3 D．—5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对数的基本运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎6．已知函数是定义上的增函数，且，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据f（x）的定义域以及单调性可得x﹣1，1﹣3x满足的条件，由此即可解得x的范围．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，解得0≤x．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法，解抽象不等式的关键是利用单调性把函数值关系转化为自变量关系．‎ ‎7．已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（　　）‎ A． B． C．1 D．或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，‎ 则3m2-2m=1，解得m=1或m=-，‎ 又f（x）为增函数，‎ 则m=1满足条件，‎ 即m的值为1．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎8．函数的值域是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：由于，所以.即值域为，故选C.‎ ‎【考点】值域.‎ ‎9．设是集合到的映射，其中，，且，则中元素是2的元素为（ ）‎ A．3或-1 B．-1 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据映射的概念列式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题.又,故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了映射的概念运用,属于基础题型.‎ ‎10．设表示不超过x的最大整数，若关于x的方程：的解为，则=（　　 ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据零点存在定理求的范围,再求即可.‎ ‎【详解】‎ 设,因为, ‎ ‎.故.故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了零点存在定理的运用,属于基础题型.‎ ‎11．已知定义在R上的函数，对任意,都有当时,，若为偶函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得的对称性与单调性,再判断函数值大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由题有在上为减函数,且关于对称.‎ 故在上为增函数,故.‎ 又,故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据单调性与对称性判断函数值大小的问题,属于基础题型.‎ ‎12．已知定义在R上的函数满足，若函数与的图象有m个交点，则( )‎ ‎（注）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数对称性求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,故关于点对称.‎ 又也关于点对称.‎ 故两函数的m个交点也关于点对称.‎ 故.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的对称性求和的问题,需要根据题意找到函数的对称点再求和.属于中等题型.‎ 二、填空题 ‎13．若函数如下表所示：‎ 则________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据函数值表直接判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由表得.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的概念与运用,属于基础题型.‎ ‎14．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】根据集合的无序性与互异性求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题=.显然,故,即,此时=.故且.故.故.‎ 故答案为：-1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的无序性与互异性.属于基础题型.‎ ‎15．设函数是定义在上的奇函数，且，则____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵函数是定义在上的奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 由题意得，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ ‎16．若函数是区间上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时， 的取值范围恰为，则称函数是上的“和谐”函数.若函数是上的“和谐”函数，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得在上为减函数,故存在区间,‎ 使得再数形结合列式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为在上为减函数,由题意有存在区间使得.即.相减得.因为,故.‎ 代入得.又,.故.‎ 解得.故关于的方程在区间内有实数解.‎ 令则二次函数对称轴为,‎ 故 .故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数新定义,同时也考查了零点存在定理的运用,属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17．若集合，．‎ ‎（）若，全集，试求．‎ ‎（）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) . ‎ ‎ (2) .‎ ‎【解析】分析：（1）根据集合的基本运算求，即可求出答案；‎ ‎（2）根据，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.‎ 详解：（）当时，由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎（）∵，，‎ 由得，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎ 点睛：解决集合运算问题的方法 在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．‎ ‎(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．‎ ‎(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．‎ ‎(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．‎ ‎18．已知函数．‎ Ⅰ证明：函数在区间上是增函数；‎ Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】Ⅰ见解析；Ⅱ见解析 ‎【解析】Ⅰ先分离常数得出，然后根据增函数的定义，设任意的，然后作差，通分，得出，只需证明即可得出在上是增函数；‎ Ⅱ根据在上是增函数，即可得出在区间上的最大值为，最小值为，从而求出，即可．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ证明：；‎ 设，则：；‎ ‎；‎ ‎，，；‎ ‎；‎ ‎；‎ 在区间上是增函数；‎ Ⅱ在上是增函数；‎ 在区间上的最小值为，最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．‎ ‎19．已知函数 ‎ 求函数的最小值；‎ 若，求m的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，得到函数的单调性，从而求出的表达式即可；‎ 根据的表达式求出m的值即可．‎ 试题解析：‎ 解： ‎ 函数的对称轴是，‎ 即时，函数在递增，‎ 时，函数值最小值，函数的最小值是2m，‎ 时，函数在递减，在递增，‎ 时，函数值最小，最小值是，‎ 时，函数在递减，‎ 时，函数值最小，函数的最小值是，‎ 综上：；‎ ‎，由得：‎ 若，解得：，符合题意；‎ 若，无解；‎ 若，无解；‎ 故．‎ 点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.‎ ‎20．已知函数，对于任意的，都有, 当时，，且.‎ ‎(1)求的值；并证明函数在R上是递减的奇函数.‎ ‎(2)设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,,证明见解析 （2）见解析.‎ ‎【解析】(1)利用赋值法,令与代入求解即可.再令可证明奇函数,再取且赋值到条件中分析即可.‎ ‎(2)根据(1)中证明的奇函数化简,利用单调性可知,再参变分离求函数取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）令得,得. 令得, ‎ 令得 ‎ 证明：任取且,则,‎ 因为,即. ‎ 令 则. ‎ 由已知时,且,则,‎ 所以 ,,所以函数在R上是减函数 ‎ 令代入, 得,‎ 所以,故为奇函数 ‎（2）由 ‎==‎ ‎ ‎ 令,即,因为函数在R上是减函数, ‎ 所以,即 ‎ 所以当 时,函数最多有4个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数的求值与单调性奇偶性的证明,主要利用赋值法进行.同时也考查了零点问题的转换与参变分离求参数范围的方法,属于难题.‎ ‎21．伟大的中华民族，用仅占世界淡水总量的百分之六，养育着占全球总人口百分之二十的中华儿女.对“水”这个宝贵的资源，曾经有人认为是取之不尽用之不竭的，如今竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，因严重缺水困扰全国三分之二的城市.党的“十九”大报告指出：要节约资源，防止浪费.为了节约用水，某市出台一项水费政策，对该市居民用水实行阶梯收费，其标准如下表：（单位：元/立方米）．‎ 档水量 户年用水量（立方米）‎ 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 ‎（含）‎ 第二阶梯 ‎（含）‎ 第三阶梯 以上 ‎（1）试写出消费（元）与用水量（立方米）之间的函数关系式，其中，．‎ ‎（2）若某居民年交水费元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？‎ ‎【答案】（1）（2）自来水费：454元，水资源费：314元，污水处理费：272元，‎ ‎【解析】(1)根据题意,分三段,,进行计算即可.‎ ‎(2)根据(1)中的分段函数先分析交水费元中的取值范围,再分别计算自来水费与水资源费污水处理费即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时,； ‎ 当时,； ‎ 当时,； ‎ ‎∴． ‎ ‎（2）当时,,,‎ 自来水费：（元）,水资源费：（元）,‎ 污水处理费：（元）,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的实际运用,需要根据题意分段列出合适的函数式.属于中等题型.‎ ‎22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称函数 的一个上界.已知函数,‎ ‎(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合 ‎(2)若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)根据的单调性求得的值域,再根据上界的定义求所有上界构成的集合即可.‎ ‎(2)由题知在上恒成立,再参变分离构造函数求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由,设,令,且,‎ ‎∵ ；‎ ‎∴在上是减函数, ‎ ‎∴在上是单调递增函数, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设,则 ‎∴在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴在上的最大值为 在上的最小值为,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数新定义问题,需要根据题意分析构造出的函数的单调性求最值,再根据新定义确定参数的范围,属于难题.‎