数学理卷·2018届吉林省舒兰一中高三上学期第四次月考（2017

数学理卷·2018届吉林省舒兰一中高三上学期第四次月考（2017

‎2017-2018学年度上学期质量监测 高三数学(理) 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“函数的最小正周期为”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（ ）‎ A．1，3 B．-1，1 C. -1，3 D．-1，1，3‎ ‎5.若满足约束条件且向量，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）‎ A．2 B．4 C. 8 D．1‎ ‎7.定积分的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，若成等差数列，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．9 C. 12 D．16‎ ‎9.在中，已知分别为角的对边且，若且，则的周长等于（ ）‎ A． B．12 C. D．‎ ‎10.在中，若，则是（ ）‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C.钝角三角形 D．直角三角形 ‎11.已知函数在上非负且可导，满足，若，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列命题：‎ ‎①在内单调递增；‎ ‎②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；‎ ‎③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；‎ ‎④和之间存在唯一的“隔离直线”．‎ 其中真命题的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．‎ ‎14.等比数列中，，函数，则 ．‎ ‎15.设是定义在上的偶函数，对任意，都有且当时， ，若在区间内关于的方程内恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 ．‎ ‎16.设函数，，对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角所对的边分别是，满足：，且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若，，判断三角形的形状．‎ ‎18.在等差数列中，，，其前项和为．‎ ‎(Ⅰ)求数列 的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列满足，求数列的前项和．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)若存在满足，求实数的取值范围．‎ ‎20.已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；‎ ‎(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为(为参数，，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BADAD 6-10: BADAD 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：(Ⅰ) ∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴而成等比数列，所以不是最大，‎ 故为锐角，所以.‎ ‎(Ⅱ)由，则，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以三角形是等边三角形.‎ ‎18.解：(Ⅰ) ，，‎ 即 得，‎ ‎.‎ ‎ (Ⅱ) ，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19.解：(Ⅰ) ，‎ ‎，‎ 函数的最小正周期，‎ 由，得，‎ 单调递增区间为.‎ ‎(Ⅱ) 当时，，‎ ‎，‎ 存在满足的实数的取值范围为.‎ ‎20.解：(Ⅰ)设等比数列的首项为，公比为．‎ 依题意，有，代入，得．因此，‎ 即有，解得或，‎ 又数列单调递增，则，故．‎ ‎(Ⅱ) ∵，‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①-②，得 ‎∵，∴对任意正整数恒成立，‎ ‎∴对任意正整数恒成立，即恒成立，‎ ‎∵，∴，即的取值范围是．‎ ‎21.解：(Ⅰ)由，所以，‎ ‎①当时，则有，函数在区间单调递增；‎ ‎②当时，，，‎ 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，‎ 综合①②的当时，函数的单调增区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)函数定义域为，‎ 又，‎ 令，则，‎ 所以，，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，所以.‎ 由(Ⅰ)知当时，对，有，‎ 即，‎ 所以当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，故当且趋向时，趋向时，得到函数的草图如图所示:‎ ‎①当时，函数有两个不同的零点；‎ ‎②当时，函数有且仅有一个零点；‎ ‎③当时，函数有无零点.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，，故对，‎ 先分析法证明: ，‎ 要证，只需证，即证，‎ 构造函数，所以，‎ 故函数在单调递增，，‎ 则，成立.‎ ‎①当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在上恒成立.‎ ‎②当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，在单调递减，‎ 故当时，，所以，则不满足题意.‎ 综合①②得，满足题意的实数的取值范围.‎ ‎22.解：(Ⅰ)由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程代入，得，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ 当时，的最小值为4.‎