2018-2019学年陕西省咸阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年陕西省咸阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年陕西省咸阳市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴ ={﹣1，2}‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2．函数f（x）的定义域为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）‎ C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由分式的分母不为0,求解的范围即得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由，解得．‎ 函数的定义域为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题．‎ ‎3．若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数运算求出的值，然后利用对数的运算律求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，所以，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数运算，同时也考查了对数运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4．圆A：x2+y2＝1与圆B：x2﹣4x+y2﹣5＝0的公共点个数为（　　）‎ A．0 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆心距等于两圆半径之和可得两圆外切，所以只有一个公共点．‎ ‎【详解】‎ 解：因为圆 配成标准式可得圆，故其圆心为，半径为1，‎ 圆的圆心，半径为1，‎ 所以圆心距为，两圆的半径之和为，‎ 所以两圆相外切，只有一个公共点．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属于基础题．‎ ‎5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知点E、F分别为棱AB与BC的中点，则直线EF与直线BC1所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，数形结合得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：如图，‎ 连接，，‎ 因为、为棱，的中点，则，‎ 又 为直线与直线所成的角，‎ 连接，可得△为等边三角形，‎ 为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ ‎6．已知a＞0且a≠1，则函数y＝logax和y＝（1﹣a）x的图象只可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的单调性及特殊点对其判断．‎ ‎【详解】‎ 解：当，即时，函数单调递减，单调递增，故排除，‎ 当，即时，此时函数单调递增，单调递减，排除，‎ 中，对数函数图象不过，不正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象及其变换，属于基础题．‎ ‎7．已知函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用换元法求出，再解方程即可.‎ 详解：，则，‎ 故，‎ 令，则，故选A.‎ 点睛：函数解析式的求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法.‎ ‎8．若f（x），则f（﹣1）的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数解析式推导出，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．‎ ‎【详解】‎ 解：，，,A正确;‎ 是减函数，，B正确;‎ 为增函数，，C正确.‎ 是减函数，,D错误.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为 A．18 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何体的体积为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力．‎ ‎11．对于a∈R，直线l：（a﹣1）x﹣y+a+1＝0和圆C：x2+y2﹣4x﹣12＝0，则直线l与圆C的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种位置均有可能 ‎【答案】A ‎【解析】求出圆的圆心与半径，直线恒过的定点，判断点与圆的位置关系即可．‎ ‎【详解】‎ 解：直线，‎ 解得 直线恒过定点，‎ 圆化成标准式为，则圆的圆心为，半径为．‎ 与的距离为，‎ 直线恒过的定点在圆内，‎ 直线与圆相交．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎12．设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（　　）‎ ‎①若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m；‎ ‎②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；‎ ‎③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；‎ ‎④若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.‎ A．①② B．②③ C．③ D．③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，由，，，得或与相交或与异面，故①错误；‎ 对于②，由，，，得或与异面，故②错误；‎ 对于③，由，，得，故③正确；‎ 对于④，，，，，，如图，，不一定垂直，故④错误．‎ 其中正确的是③．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，t），如果直线AB的倾斜角为45°，那么实数t的值为_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先求出所在直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：点，，‎ 所在直线的斜率，‎ 直线的倾斜角为，‎ ‎，即．‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由两点求解直线的斜率及斜率与倾斜角的关系，属于基础试题．‎ ‎14．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝_____.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】由反函数的性质得函数的图象经过点，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 解：常数且，函数，的反函数的图象经过点，‎ 函数的图象经过点，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，若该长方体的外接球的表面积为8π，则AA1的长为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据长方体外接球的直径为长方体的体对角线，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：设长方体的高为，则根据长方体外接球半径公式，设其半径为，则，解得，‎ ‎，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积，考查长方体外接球问题，属于基础题．‎ ‎16．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，即，画出函数和的图像如图：‎ 由图可知，要使函数有两个不同的零点，则实数的取值范围，故答案：‎ 点睛：本题考查的是已知函数零点个数，求参数。此类题型常用的思路是用数形结合的思想求参数，适当的分离参数，构造得到和两个函数，画出函数图像，即可求出参数的取值范围.‎ 三、解答题 ‎17．已知两条直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.‎ ‎(1)若l1∥l2，求实数a的值；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求实数a的值。‎ ‎【答案】(1) a=2 (2)‎ ‎【解析】（1）利用直线与直线平行的条件直接求解；‎ ‎（2）利用直线与直线垂直的条件直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题可知，直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.‎ 若l1∥l2，则 解得a=2或a=-3(舍去)‎ 综上，则a=2；‎ ‎（2）由题意，若l1⊥l2，则,‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18．已知二次函数f（x）＝x2﹣2x+c，满足f（0）＝2.‎ ‎（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）5；（2）（﹣∞，0]∪[1，+∞）‎ ‎【解析】（1）将代入即可求得的值，结合二次函数的单调性即可得解；‎ ‎（2）依题意，或，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎，‎ 又函数的对称轴为，则函数在，上单调递减，在，上单调递增，‎ 故；‎ ‎（2）若函数在区间，上单调，则或，解得或，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象及其性质，属于基础题．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F分别为AD，PC的中点，O为AC与BE的交点.求证：‎ ‎（1）AP∥平面BEF；‎ ‎（2）BE⊥平面PAC.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）连结交于点，连结，连结，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明平面．‎ ‎（2）推导出四边形为平行四边形，，，，从而平面，‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连结交于点，连结，连结 ‎，，‎ 四边形是平行四边形，‎ 是的中点，‎ 又点为的中点，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（2），，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又四边形是平行四边形，，‎ 四边形是菱形，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，平面，‎ 平面，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎20．已知函数f（x）是奇函数.‎ ‎（1）求实数a的值并判断函数在定义域上的单调性；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（lgx）0.‎ ‎【答案】（1）a＝1，减函数；（2）‎ ‎【解析】（1）由是奇函数，得，得，得；‎ ‎（2）由，得，得 ‎，根据对数函数的单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）是奇函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，‎ 在定义域上单调递增，且值域为，在上单调递减，‎ 由复合函数的单调性可知在上是减函数．‎ ‎（2）令，‎ 得，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的判断，根据定义法是解决本题的关键；本题考查了不等式的解法，利用函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎21．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.‎ ‎（1）求证：平面EDB⊥平面EBC；‎ ‎（2）若M是AB的中点，求证：平面B1D1M∥平面EDB.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先通过线线垂直证得平面，进而得面面垂直；‎ ‎（2）需先证，与平面平行，进而得面面平行．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：‎ 由，，为中点 得，‎ 由勾股定理可得 又由 可得（三垂线定理）‎ 平面，平面，且 平面 平面 平面平面；‎ ‎（2）‎ 证明：在矩形中，‎ 平面，平面 平面 又且 四边形为平行四边形，‎ 平面，平面 平面 平面平面．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了面面垂直，面面平行的证明方法，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21＝0相切，与y轴交于M，N两点且∠MCN＝120°.‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）求过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若|DE|＝2，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）y或x＝0‎ ‎【解析】（1）由题意设圆心为，且，再由已知求解三角形可得，于是可设圆的标准方程为，由点到直线 的距离列式求得值，则圆的标准方程可求；‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得，可得直线方程，验证当时满足题意，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意设圆心为，且，‎ 由，可得中，，，则，‎ 于是可设圆的标准方程为，‎ 又点到直线的距离，解得或（舍去）．‎ 故圆的标准方程为；‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．‎ 则由题意可知，圆心到直线的距离．‎ 故，解得．‎ 又当时满足题意，‎ 故直线的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎