2018-2019学年河南省信阳第一高级中学高二上学期期中联考数学（文）试题（Word版）

2018-2019学年河南省信阳第一高级中学高二上学期期中联考数学（文）试题（Word版）

‎2018-2019学年河南省信阳第一高级中学高二上学期期中联考数学文试题 命题人：王德良 说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分 钟。‎ ‎2. 将Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（卡）中。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。‎ ‎1.下列命题中的假命题是（ ）‎ A． " x ? R , 2x-1 > 0‎ B. " x ? N * , (x -1)2 > 0‎ C． $ x ? R , lg x <1‎ D. $ x ? R , tan x = 2‎ ‎2.在 DABC 中， a ， b ‎， c 为角 A ， B ， C 的对边，若 A = p ‎， cos B = 3‎ ‎， b = 8 ，则 a = (‎ ‎)‎ ‎6‎ ‎5‎ A． 40‎ B．10‎ C．‎ ‎20‎ D． 5‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3．设 Sn 是公差不为零的等差数列{an } 的前 n 项和，且 a1 > 0 ，若 S5‎ ‎= S9 ，则当 Sn 最大时，n=（‎ ‎）‎ A．6‎ B．7‎ C．10‎ D．9‎ ‎4．若集合 A = {x x2 - 5x + 4＜0}; B = {x x - a ‎＜1}, 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的（‎ ‎）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎5．椭圆 x 2‎ ‎+‎ y 2‎ ‎= 1 和 x 2‎ ‎+‎ y 2‎ ‎= k (k > 0)具有 ‎（‎ ‎）‎ a 2‎ b 2‎ b 2‎ a 2‎ A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 ‎6．若不等式 ax ‎2‎ ‎+ bx + 2‎ ‎?‎ ‎-‎ ‎1‎ ‎< x <‎ ‎1 ?‎ ‎）‎ ‎> 0 的解集是 ?x ‎? ，则 a + b 的值为（‎ ‎?‎ ‎2‎ ‎3?‎ A．－10‎ B． －14‎ C． 10‎ D． 14‎ ‎7..点 A(-3，-1)和点 B(4，-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧，则 a 的范围是(‎ ‎)‎ A. a > 24或a < -7‎ B. a ? 24或a ?-7 C. - 7 < a < 24 D. - 7 ? a ? 24‎ ‎8.若 x>0，y>0，则 x + y 的最小值为（‎ ‎）‎ x + y ‎1‎ A．‎ B．1 C．‎ ‎2‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎9.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 a sin B = b cos A ,则 ‎2‎ sin B - cos C 的最大值 是( )‎ A．1‎ B.‎ ‎3‎ C.‎ ‎7‎ D. 2‎ ‎7‎ x ‎2‎ ‎+‎ y2‎ ‎= 1(a > b > 0)‎ 中，F , F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点 P 使得 PF ‎= 2‎ PF ‎10. 在椭圆 ‎，‎ a ‎2‎ b2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 则该椭圆离心率的取值范围是(‎ ‎)‎ ‎?‎ ‎1‎ ‎?‎ ‎?1‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎0,‎ ‎1‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎1 ?‎ A． ?‎ ‎3‎ ‎,1?‎ B． ?‎ ‎,1?‎ C． ?‎ ‎3‎ ‎?‎ D． ? 0,‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎?3‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎?‎ ‎3?‎ ‎11.若 {an }是等差数列，首项公差 d < 0, a1‎ ‎> 0 ，且 a2013 (a2012 + a2013 ) < 0 ,则使数列 {an }的 前 n 项和 Sn > 0 成立的最大自然数 n 是（‎ ‎） A．4027‎ B．4026 C．4025 D．4024‎ ‎12.已知双曲线 x 2‎ ‎-‎ y 2‎ ‎= 1 的左右焦点分别为 F、F ， O 为双曲线的中心， P 是双曲线右支上的点，‎ a 2‎ b 2‎ ‎1‎ ‎2‎ DPF1 F2 的内切圆的圆心为 I ，且圆 I 与 x 轴相切于点 A ，过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 B ，若 e 为双 曲线的离心率，则( )‎ A. | OB |= e | OA | B. | OA |= e | OB | C. | OB |=| OA | D. | OA | 与 | OB | 关系不确定 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将正确答案写在答题纸上。‎ ‎13.若数列{an }的通项公式是 an = (-1)n (3n - 2), 则 a1 + a2 + a10 =‎ ‎；‎ ‎? y ? x +1‎ ‎?‎ ‎14.设变量 x, y 满足约束条件 ?y ? 2x -‎ ‎4, 则目标函数 z = 3x - 2 y 的最大值为 ‎；‎ ‎?‎ ‎2‎ ‎?x + 2 y ?‎ ‎15.椭圆 M :‎ x2‎ ‎+‎ y2‎ ‎=1( a > b > 0 )的左,右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且 PF ‎?‎ PF 的最大 a 2‎ b2‎ ‎1‎ ‎2‎ 值的取值范围是 [2c2 ,3c2 ],其中 c = a 2 - b2 ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是________.‎ ‎16.设 x, y 为实数，若 4x2 + y2 + xy =1 ，则 2x + y 的最大值为__________.‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分 10 分）‎ 已知 p:‎ x2‎ ‎-‎ y 2‎ ‎= 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; q：方程 4x2 + 4(m - 2)x +1 = 0 无实数根，若 p ? q m - 2‎ m +1‎ 为真， p ? q 为假，求 m 的取值范围。‎ ‎18. （本小题满分 12 分）‎ ‎(1)已知 x, y ? R+ , x + 2 y + 2xy = 8, 求x + 2 y 的最小值；‎ ‎?‎ y ? 1‎ y -1‎ ‎?‎ x + y ? 0‎ ‎(2)‎ 设 x,y 满足 ?‎ ‎，求 的范围.‎ x + 2‎ ‎?‎ ‎0‎ ‎?x - y - 2 ?‎ ‎19. （本小题满分 12 分）‎ ABC A B C a b c cos A = 3‎ ‎, sin B =‎ cocC ‎( )‎ tanC 在 D ‎5‎ 中，内角 ‎，‎ ‎，‎ 的对边分别为 ‎，‎ ‎，‎ ‎．已知 ‎2‎ ‎．‎ Ⅰ 求 的 值； (Ⅱ)若 a＝ 2 ，求 D ABC 的面积．‎ ‎20. （本小题满分 12 分）‎ 已知数列{ an }，{ bn }满足 a1a2 an = (2 )bn (n ? N * ) ，若{ an }是等比数列，且 a1 = 2,‎ b3 = 6 + b2 ，①求{ an }和{ bn }的通项公式；②设 cn = 1 - 1 , 求数列{ cn }的前 n 项和 Tn . an bn ‎21.（本小题满分 12‎ 分）‎ y 设 M 是椭圆 x2‎ ‎+‎ y 2‎ ‎= 1 和双曲线 x2‎ ‎-‎ y 2‎ ‎= 1(a > b > 0, m > 0, n > 0)‎ M a2‎ b2‎ m2‎ n2‎ 的一个交点，F1，F2 是它们的公共焦点。‎ F1O F2x ‎（1）若 M (2,1) ，且椭圆的离心率 e =‎ ‎2‎ ‎, 求椭圆和双曲线的方程；‎ ‎2‎ ‎（2）对（1）中的椭圆，是否存在点 P，使 ?F1PF2 = 900 ？若存在求出 P 点的坐标，若不存在说明理由.‎ ‎22. （本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆 C： x2 + y2 = m2 (m > 0) 经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k(k ‎5 3 2‎ ‎≠0)有直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，M 为线段 AB 中点，设 O 为椭圆的中心，射线 OM 交椭圆于 N 点。‎ ‎（1）若椭圆 C 过点（ 5，3 ），求 m 的值；‎ ‎（2）是否存在 k，使对任意 m>0,总有 OA + OB = ON 成立？若存在，求 出所有 k 的值；（12 分）‎ 参考答案 一、选择题：（共 60 分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B A A B C C A B D C 二、填空题：（共 20 分）．‎ ‎16. 2‎ ‎13．15‎ ‎14. 6‎ ‎15.［‎ ‎3‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎］‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17 解：p 真： m > 2. 记集合 A = (2,+?) . q 真：由 D < 0, 得1 < m < 3. 记集合 B= (1,3) .‎ 由已知:p,q 中一真一假，故所求 m 的范围是：‎ ‎(A （CR B）) (CR A B) = (1,2] [3，+ ?)。 （10 分）‎ ‎?‎ ‎2‎ ‎?‎ ‎18（1）最小值是 4‎ ‎（6‎ ‎?-‎ ‎3‎ ‎，0?‎ ‎（12 分）‎ 分 ） （2） ?‎ ‎?‎ ‎19.解：(Ⅰ)∵cosA＝ 23 ＞0，∴sinA＝ 1- cos2 A = 35 ，‎ 又 5 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝ 35 cosC＋ 23 sinC．‎ 整理得：tanC＝ 5 ． （6 分）‎ ‎(Ⅱ)由前面知：sinC＝ 56 ．‎ a ‎=‎ c ‎， 故 c =‎ ‎①‎ 又由正弦定理知：‎ ‎3‎ sin A sin C 对角 A 运用余弦定理：cosA＝‎ b2 + c2 - a2‎ ‎=‎ ‎2‎ ‎②‎ ‎2bc ‎3‎ ‎(舍去)．‎ 解① ②得： b =‎ 或 b＝‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ABC S ‎∴ D ‎5‎ 的面积为： ＝‎ ‎．‎ ‎（12 分）‎ ‎2‎ ‎20 . an = 2n ,bn = n(n +1) （6 分）‎ T =‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎1‎ ‎（6 分）‎ 请老师们酌情合理给分 n +1‎ ‎2n n x2‎ y 2‎ x2‎ ‎- y ‎2‎ ‎= 1‎ ‎21. （1）‎ ‎+‎ ‎= 1‎ ‎，‎ ‎（6 分）‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（2）存在 P(0， ?‎ ‎)。只需以 F1F2 为直径的圆与椭圆有交点，‎ ‎3‎ ‎?‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎? x ‎+ y ‎= 3‎ ‎，得 x = 0, y = ? 3 , P(0,?‎ ‎3) .‎ ‎（12 分）‎ 由 ? x2‎ ‎+‎ y 2‎ ‎= 1‎ ‎?‎ ‎3‎ ‎? 6‎ ‎22.解：（1） m = 2‎ ‎（2 分）‎ ‎(2).椭圆 C：‎ x2‎ ‎+‎ y2‎ ‎= 1, c2 =‎ ‎5m2‎ ‎-‎ ‎3m2‎ ‎= m2 , c = m, F (m, 0) ，直线 AB 的方 ‎3m2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5m2‎ ‎2‎ ‎2‎ 程为：y=k(x-m).代入 C 的方程：消去 y 得 ‎(10k 2 + 6) x2 - 20k 2mx +10k 2m2 -15m2‎ ‎= 0‎ 设 A(x , y ), B(x ‎, y ‎) ，则 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ x ‎+ x ‎20k 2m ‎, x x ‎10k 2m2 -15m2‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎,‎ ‎10k 2 + 6‎ ‎10k 2 + 6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1 2‎ 则 xM =‎ x + x ‎10k 2m ‎, yM = k (xM - m ) =‎ ‎-6km ‎1‎ ‎2‎ ‎=‎ ‎.（6 分）‎ ‎2‎ ‎10k 2 + 6‎ ‎10k 2 + 6‎ 若存在 k,使 OA + OB = ON 总成立，M 为线段 AB 的中点，∴M 为 ON 的中点，‎ ‎∴ OA + OB = 2OM ‎OA + OB = (2xM ‎,2 yM ) = (‎ ‎20k ‎2 m ‎,‎ ‎-12km ‎)‎ ‎10k 2‎ ‎+ 6‎ ‎10k 2‎ ‎+ 6‎ ‎20k 2 m ‎-12km 即 N 点的坐标为 (‎ ‎,‎ ‎) 。（10 分）‎ ‎10k 2 + 6‎ ‎10k 2 + 6‎ 代入椭圆方程整理得： 5k 4 - 2k 2 - 3 = 0,k 2 = 1或k 2 = - 53 （舍）‎ 故存在 k=±1,使对任意 m>0，总有 OA + OB = ON 成立。 （12 分）‎