2017-2018学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学文试题（Word版）

2017-2018学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学文试题（Word版）

2017-2018 学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学文科试题 命题教师：侯光明 审题教师：李全勇 本试卷分选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）1 至 3 页，第Ⅱ卷（非选择题）3 至 6 页，共 6 页， 满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后， 再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一．选择题（每题 5 分，共 60 分) 1．某校为了了解高一,高二,高三这三个年级之间的学生打王者荣耀游戏的人数情况，拟从这三个年级中按人数比例 抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　) A．抽签法　 　 　 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 2．峨眉山市 2017 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是(　　) A．19　　　　 　 B．20 C．21.5 D．23 3．一个正三棱锥的四个面上分别标有数字－2、－1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为 n，则函数 y＝－ 1 3x3＋nx 在[1，＋∞)上为减函数的概率为(　　) A．1 4 B．1 2 C．3 4 D．1 4．秦九韶(1208-1261 年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)，南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 的值为 ( ) A.9 B.18 C.20 D.35 5．点 在边长为 2 的正方形 内运动，则动点 到顶点 的距离 的概率为（ ） v v=vx+i i=i-1 否 是 输出v i≥0? i=n-1 输入n，x 结束 开始 v=1 AP ABCD P 2PA < A． B． C． D． 6．若函数 f(x)＝kx－lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 7. 设曲线 y＝ax－2ln(x＋2)在点(0, f(0))处的切线方程垂直于直线为 x+2y=0，则 a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．按如下程序框图，若输出结果为 S=42，则判断框内应补充的条件为( ) A． B． C． D． 9．向上抛掷一颗骰子 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3， 事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则(　　) A．A 与 B 是互斥而非对立事件 B．A 与 B 是对立事件 C．B 与 C 是互斥而非对立事件 D．B 与 C 是对立事件 10．某校高二（16）班共有 50 人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100,120]内的 学生人数为( ) A．36 B．25 C．22 D．11 11．已知 a ≥ 1－x x ＋lnx 对任意 x∈[1 e，e]恒成立，则 a 的最小值为(　　) A．1　　　 B．e-2　 C．1 e　　 　　 D．0 12. 已知 y＝f(x)为 R 上的连续可导函数，当 x≠0 时，f ′(x)＋f(x) x >0，则函数 g(x)＝f(x)＋1 x的零点个数为(　　) A．0 　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．0 或 2 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号．已知从 33～48 这 16 个数中取的数是 35，则在第 1 小组 1～16 中随机抽到的数是________． 14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为 ＝0.95 －0.15.由以上信息，得到下表中 c 的值为________. 天数 x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数 y(千个) 2 3 4 5 c 15．已知总体的各个体的值从小到大为：-3、0、3、x、y、6、8、10，且总体的中位数为 4.若要使该总体的方差最 小，则 2x-y=______． 16.已知函数 f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数 y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序 号是________． ①当 x＝ 3 2时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点； ③当 x＝2 时函数取得极小值；④当 x＝1 时函数取得极大值． 三．解答题（17 题 10 分，其余各题均 12 分，共 70 分） 4 1 2 1 4 π π 5i > 5i ≥ 7i ≥ 7i > − y − x 17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为 2 500 元，已知每生产 x 件这样的产品需要再增加可变成本 C(x)＝ 200x＋ 1 36x3(元)，若生产出的产品都能以每件 500 元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润 是多少？ 18.柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某 研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数 x 与雾霾天数 y 进行统计分析,得出下表数据. x 4 5 7 8 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图，并说明其相关关系； (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ＝b^ ＋a^ ； (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数. (相关公式：b^ ＝ ∑ n i＝1xiyi－nx y ∑ n i＝1x2i－nx2 ,a^ ＝ －b^ ) 19．已知函数 f (x)＝a lnx＋2a2 x ＋x (a≠0)． (1)若曲线 y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线 x－2y＝0 垂直，求实数 a 的值； (2)讨论函数 f (x)的单调性． 20．某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了 14 名女生和 6 名男生，这 20 名学生的测试成绩如茎叶图所示 (单位：分)，记成绩不小于 80 分者为 A 等，小于 80 分者为 B 等． − y − x − y − x (1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数； (2)如果用分层抽样的方法从 A 等和 B 等中共抽取 5 人组成“创新团队”，则从 A 等和 B 等中分别抽几人？ (3)在(2)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取 2 人，求至少有 1 人是 A 等的概率． 21.某校 600 名文科学生参加了 4 月 25 日的三调考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况，利用随机数 表法从抽取 100 名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为 000，001，002，…599 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （1）若从第 6 行第 7 列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的 5 个人的编号（上面是摘自随机数表的第 4 行到 第 7 行）； （2）抽出的 100 名学生的数学、外语成绩如下表： 外语 优 良 及格 优 8 m 9 良 9 n 11数学 及格 8 9 11 若数学成绩优秀率为 35%，求 m，n 的值； （3）在外语成绩为良的学生中，已知 m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率． 22．已知函数 f (x)＝ex＋2x2－3x. (1)求证：函数 f (x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点． (2)当 x≥1 2时，若关于 x 的不等式 f (x)≥5 2x2＋(a－3)x＋1 恒成立，试求实数 a 的取值范围． 乐山四校高 2019 届第四学期半期联考数学文科试题 答案 一．选择题 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7. D 8．AC 9．D 10．B 11．BD 12.A 二．填空题 13．3 14．9 15．4 16.① 三．解答题 17．解：　设该厂生产 x 件这种产品利润为 L(x) 则 L(x)＝500x－2 500－C(x) ＝500x－2 500－(200x＋ 1 36x3 )＝300x－ 1 36x3－2 500(x N)…………………..........….…2 令 L′(x)＝300－ 1 12x2＝0,得 x＝60(件)…………………………….............................…4 又当 0≤x<60 时,L′(x)>0; x>60 时,L′(x)<0…………………………………............…6 所以 x＝60 是 L(x)的极大值点,也是最大值点．…………………………………….....…8 所以当 x＝60 时,L(x)＝9 500 元． 答：要使利润最大,该厂应生产 60 件这种产品,最大利润为 9 500 元．……………......…10 18.解：　(1)散点图如图所示.为正相关……………………...................................….....…2 ……………….......................4 (2) ∑ 4 i＝1xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.x＝ 4＋5＋7＋8 4 ＝6,y＝ 2＋3＋5＋6 4 ＝4, ∑ 4 i＝1x2i＝42＋52＋72＋82＝154,…………………………………………………..........................…6 则 b^ ＝ ∑ 4 i＝1xiyi－4x y ∑ 4 i＝1x2i－4x2 ＝ 106－4 × 6 × 4 154－4 × 62 ＝1, a^ ＝y－ b^ x＝4－6＝－2,…………..........…..8 故线性回归方程为 y^ ＝ b^ x＋ a^ ＝x－2.………….............................................…………….…10 (3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数为 7.……….…..........12 19．(1)解：　f(x)的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝a x－2a2 x2 ＋1 (x>0)．………………………...…2 根据题意,有 f′(1)＝－2,所以 2a2－a－3＝0,解得 a＝－1 或 a＝3 2.……………..............…4 (2)解：　f′(x)＝a x－2a2 x2 ＋1＝x2＋ax－2a2 x2 ＝ (x－a)(x＋2a) x2 (x>0)．………………........….…6 当 a>0 时,因为 x>0, 由 f′(x)>0 得(x－a)(x＋2a)>0,解得 x>a； 由 f′(x)<0 得(x－a)(x＋2a)<0,解得 00, 由 f′(x)>0 得(x－a)(x＋2a)>0,解得 x>－2a；由 f′(x)<0 得(x－a)(x＋2a)<0,解得 00 时,f(x)在(a,＋ )上单调递增,在(0,a)上单调递减．当 a<0 时,所以函数 f(x)在(0,－2a)上单调递减,在 (－2a,＋ )上单调递增……………………...........................…...........................................…12 20．解：　(1)由题中茎叶图知,女生成绩的中位数是 75.5.……………………….......…...2 男生成绩的平均值为 ＝ 1 6(69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.………………………….4 (2)用分层抽样的方法从 A 等和 B 等学生中共抽取 5 人,每个人被抽中的概率是 5 20＝ 1 4. 根据茎叶图知,A 等有 8 人,B 等有 12 人,所以抽取的 A 等有 8× 1 4＝2(人),B 等有 12× 1 4＝3(人)…........6 (3)记抽取的 A 等 2 人分别为 A1,A2,抽取的 B 等 3 人分别为 B1,B2,B3,从这 5 人中抽取 2 人的所有可能的结果为 ∈ ∞ ∞ ∞ ∞ − x (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种…8 其 中 至 少 有 1 人 是 A 等 的 结 果 为 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3) 共 7 种．………………………………......…………………......…………………................…..….10 所以至少有 1 人是 A 等的概率为 7 10.………………………........................................…12 21.解：（1）从第 6 行第 7 列的数开始右读,最先抽出的 5 人的编号依次为： 544,354,378,520,384．………….................................................................................……2 （2） , 得 m=18,…………………............................................….....…....…4 ∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100,解得 n=17．……………..............................………….......…6 （3）由题意 m+n=35,且 m≥12,n≥10,∴满足条件的（m,n）有： （12,23）,（13,22）,（14,21）,（15,20）,（16,19）,（17,18）,（18,17）,（19,16）,（20,15）,（21,14）, （22,13）,（23,12）,（24,11）,（25,10）,共 14 种,且每种出现都是等可能的,………8 记“数学成绩优比良的人数少”为事件 M,则事件 M 包含的基本事件有： （12,23）,（13,22）,（14,21）,（15,20）,（16,19）,（17,18）,共种,…………........10 ． ………………….......................................................................….......…12 22．解：　(1)f ′(x)＝ex＋4x－3, ∵f ′(0)＝e0－3＝－2<0,f ′(1)＝e＋1>0, ∴f ′(0)·f ′(1)<0.……………………....................................................….......…2 令 h(x)＝f ′(x)＝ex＋4x－3,则 h′(x)＝ex＋4>0, ∴f ′(x)在区间[0,1]上单调递增, ∴f ′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点, ∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．…………………………...........................4 (2)由 f(x)≥ 5 2x2＋(a－3)x＋1,得 ex＋2x2－3x≥ 5 2x2＋(a－3)x＋1,即 ax≤ex－ 1 2x2－1, ∵x≥ 1 2,∴a≤ ex－ 1 2x2－1 x 令 g(x)＝ ex－ 1 2x2－1 x ,则 g′(x)＝ ex(x－1)－ 1 2x2＋1 x2 ..……………………..........…...…6 令φ(x)＝ex(x－1)－ 1 2x2＋1,则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥ 1 2,∴φ′(x)>0. ∴φ(x)在[ 1 2,＋∞)上单调递增．∴φ(x)≥φ( 1 2)＝ 7 8－ 1 2 e>0.………………….……8 因此 g′(x)>0,故 g(x)在[ 1 2,＋∞)上单调递增,…………………….................….....…10 则 g(x)≥g( 1 2)＝ e 1 2－ 1 8－1 1 2 ＝2 e－ 9 4,∴a 的取值范围是 a≤2 e－ 9 4.………………..…12 35.0100 98 =++ m 6 3( ) 1 4 7P M = =