数学（理）卷·2019届辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学（理）卷·2019届辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017-2018学年度上学期期中考试 高二年级数学理科试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知命题，，则下列关于命题说法正确的是（ ）‎ A．，为假命题 B．，为真命题 C．，为真命题 D．，为假命题 ‎2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 ‎4．已知数列是递减的等差数列，前项和为，若，则取最大值时的等于（ ）‎ A．2 B．2或3 C．3或4 D．4‎ ‎5．在等比数列中，与是方程的两个根，则的值是（ ）‎ A．27 B． C． D．9‎ ‎6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若命题的否命题为，命题的逆命题为，则是的逆命题的（ ）‎ A．原命题 B．逆命题 C．否命题 D．逆否命题 ‎8．给出下列命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若 ‎，则；（4）若，则不等式恒成立.其中正确命题的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于（ ）‎ A．32 B．64 C． D．‎ ‎10．设，定义运算“”和“”如下：，.若正数满足，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知实数满足约束条件，所表示的可行域为，其中.点，若的最小值与的最小值相等，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎12．已知双曲线的右支上存在一点，使得其中，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．方程表示双曲线的充分必要条件是 ．‎ ‎14．已知数列满足，，，则 ．‎ ‎15．已知实数满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值是 ．‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线，中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，双曲线的离心率的取值范围为，则椭圆的离心率的范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数的最大值为.‎ ‎（1）作出函数的图象并确定的值；‎ ‎（2）设，若恒成立，求的最大值.‎ ‎18．已知数列的前项和是，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求.‎ ‎19．某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行计数改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，若附加值万元与计数改造投入万元之间关系满足：（1）与和的乘积成正比；（2）时，；（3），为常数，且.‎ ‎（1）设，求的解析式，并求定义域；‎ ‎（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线与椭圆交于两点，对于椭圆上任一点，若，求的最大值.‎ ‎21．设数列满足：，，为数列的前项和，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）求证：对任意的且，都有.‎ ‎22．已知曲线与轴交于两点，动点与连线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）是的一条弦，且直线的斜率之积为.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的面积.‎ ‎2017——2018学年度上学期期中考试 高二年级数学理科参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCACB 6-10:CCDAC 11、12：BB 二、填空题 ‎13． 14．1006 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1），图象如图所示 由图象可知 ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴，当且仅当时取“”，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎18．解：（1）由题意，∴，‎ ‎∴，‎ 即，又，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19．解：（1）设，∵时，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴的定义域为，.‎ ‎（2）‎ 当，即时，时，，‎ 当，即时，在上为增函数.‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴当时，投入万元时，附加值最大为万元，‎ 当时，投入万元时，附加值最大为万元.‎ ‎20．解：（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵椭圆中心到直线的距离为.‎ ‎∴，∴，，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，由题意可知方程为，①‎ 椭圆的方程可化为，②‎ 将①代入②消去得，③‎ 设，，则有，，‎ 设，由得 ‎∴，‎ 又点在椭圆上，∴‎ ‎.④‎ 又在椭圆上，故有，，⑤‎ 而 ‎，⑥‎ 将⑤，⑥代入④可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，当且仅当时取“”，则的最大值为.‎ ‎21．解：（1），‎ ‎（2），‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①—②得 ‎∴‎ ‎（3）‎ ‎22．解：（1）在方程中令得：‎ ‎∴，‎ 设，则，整理得：‎ ‎∴动点的轨迹的方程为 ‎（2）（Ⅰ）设直线的方程为：，，‎ 由得：‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ 即，‎ ‎∴，∴‎ 当直线的斜率不存在时，设，则 则，又，‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为2‎ ‎（Ⅱ）‎ 当直线的斜率不存在时，‎ ‎∴的面积为.‎