2014年高考真题——理科数学（广东卷）解析版

2014年高考真题——理科数学（广东卷）解析版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学(理) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 { 1,0,1}, {0,1,2},MN   则 MN A．{ 1,0,1} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0,2} D. {0,1} 答案:B 2.已知复数 Z 满足(3 4 ) 25,iz则 Z= A．34i B. 34i C. 34i D. 34i 答案:A 25 25(3 4 ) 25(3 4 ): = 3 4 , .3 4 (3 4 )(3 4 ) 25 iizii i i       提示 故选A 3.若变量 ,xy满足约束条件 12 1 yx x y z x y y         且 的最大值和最小值分别为 M 和 m，则 M-m= A．8 B.7 C.6 D.5 : ( ), (2,1) ( 1, 1) 3, 3, 6, . C M m M m C         答案: 提示 画出可行域 略 易知在点 与 处目标函数分别取得最大值 与最小值 选 4.若实数 k 满足0 9,k则曲线 22 125 9 xy k 与曲线 22 125 9 xy k  的 A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 0 9, 9 0,25 0, (9 ) 34 (25 ) 9, k k k k k k               答案:D 提示: 从而两曲线均为双曲线, 又25 故两双曲线的焦距相等,选D. 5.已知向量  1,0, 1 ,a 则下列向量中与 a 成60夹角的是 A ．（ -1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1） 0 2 2 2 2 2 2 : (1,0, 1) (1, 1,0) 1 1: , , 60 , .221 0 ( 1) 1 ( 1) 0 B B           答案 提示 即这两向量的夹角余弦值为 从而夹角为 选 图 1 高中生 2000 名 小学生 3500 名 初中生 4500 名 图 2 近视率/ % 30 10 50 O 小学 初中 高中 年级 6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因， 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10 : : (3500 4500 2000) 2% 200, 2000 2% 50% 20, . A A         答案 提示 样本容量为 抽取的高中生近视人数为: 选 7.若空间中四条两两不同的直线 1 2 3 4, , ,l l l l ，满足 1 2 2 3 3 4,,l l l l l l   ，则下列结论一定正确的是 A. 14ll B. 14//ll C. 14,ll既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合   1 2 3 4 5= , , , , { 1,0,1}, 1,2,3,4,5iA x x x x x x i   ，那么集合 A 中满足条件 “ 1 2 3 4 513x x x x x      ”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130 答案: D 1 2 3 4 5 1 1 1 2 2 2 5 2 5 5 1 3 1 1 2 2 5 2 5 4 : 1,2,3 1 : C 10; : C 40; : C C C 80. 10 40 80 130, D. x x x x x C C A CC            提示 可取 和为 的元素个数为 和为2的元素个数为 和为3的元素个数为 故满足条件的元素总的个数为 选 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9～13 题） 9.不等式 521  xx 的解集为 .         , 3 2, : 1 2 5 3 2, , 3 2, .         答案: 提示 数轴上到 与 距离之和为 的数为 和 故该不等式的解集为: 10.曲线 25   xey 在点 )3,0( 处的切线方程为 . ' 5 ' 0 : 5 3 0 : 5 , 5, 3 5 , 5 3 0 .x x xy y e y y x x y                 答案 提示 所求切线方程为 即 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 . 3 6 7 10 1: 6 : 6 7 , 3 6, 13 6, .6 C C  答案 提示 要使 为取出的 个数中的中位数 则取出的数中必有 个不大于 另外 个不小于 故所求概率为 12.在 ABC 中，角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ，已知 bBcCb 2coscos  ， 则 b a . 2 2 2 2 2 2 2 :2 : : cos cos , 2 , 2 . sin cos sin cos 2sin , sin( ) 2sin , sin 2sin , 2 , 2 . : : 2 , 2 4 ,22 2 , 2 . ab C c B a a b b B C C B B B C B aA B a b b a b c a c bb b a abab ac aabb                         答案 提示 解法一 由射影定理知 从而 解法二:由上弦定理得: 即 即 解法三 由余弦定理得 即 即 13.若等比数列 na 的各项均为正数,且 5 1291110 2eaaaa  ,则 1 2 20ln ln lna a a    . 5 10 11 9 12 10 11 1 2 20 20 19 1 5 1 20 10 11 : 50 , , ln ln ln , ln ln ln , 2 20ln 20ln 20ln 100 , 50. a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S                   答案 提示: 设 则 （二）选做题（14～15 题，考生从中选做一题） 14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 2sin cos   和 sin＝1， 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 的交点 的直角坐标为＿＿ 22 1 2 1 2 : (1,1) : ( sin ) cos , , : 1, (1,1) . C y x C y C C      答案 提示 即 故其直角坐标方程为: 的直角坐标方程为 与 的交点的直角坐标为 15.（几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于 点 F，则 CDF AEF   的面积 的面积 ＝＿＿＿ 22 :9 :, ( ) ( ) 9. CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE       答案 提示 显然 的面积 的面积 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤． 16、（ 12 分）已知函数 RxxAxf  ),4sin()(  ，且 2 3)12 5( f ， （1）求 A 的值； （2）若 2 3)()(   ff ， )2,0(   ，求 )4 3(  f . 5 5 2 3 3 2: (1) ( ) sin( ) sin , 3.12 12 4 3 2 2 3 (2) (1) : ( ) 3 sin( ),4 ( ) ( ) 3 sin( ) 3 sin( )44 3 (sin cos cos sin ) 3 (sin( )cos cos( )sin )4 4 4 4 32 3 cos sin 6 cos42 6cos , (0, ),42 f A A A f x x ff                                                解 由 得 10sin 4 3 3 10 30( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 sin 3 .4 4 4 4 4f                     17．（本小题满分 12 分） 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36． 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 A F E D C B 图 3 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] 1n 1f (45,50] 2n 2f （1）确定样本频率分布表中 1 2 1,,n n f 和 2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 的 概率． 1 2 1 2 72: (1) 7, 2, 0.28, 0.08 ;25 25 (2) : n n f f     解 频率分布直方图如下所示       0 0 4 4 (3) , 30,35 0.2, 30,35 (4,0.2), 1 30,35 :1 (0.2) (0.8) 1 0.4096 0.5904. B C      根据频率分布直方图 可得工人们日加工零件数落在区间 的概率为 设日加工零件数落在区间 的人数为随机变量 ,则 故4人中,至少有 人的日加工零件数落在区间 的概率为 18.（13 分）如图 4，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，∠DPC＝ 030 ，AF⊥PC 于点 F，FE∥CD， 交 PD 于点 E. （1）证明：CF⊥平面 ADF； （2）求二面角 D－AF－E 的余弦值. : (1) : , , , , A , , , , , , , , , , . (2) : E EG/ / CF DF G, , , G GH AF H, EH, PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF                       解 证明 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 又 平面 平面 解法一 过 作 交 于 平面A 平面A 过 作 于 连 则 0 0 22 , CD 2, 30 , 130 , = =1,2 1 3324, , , = , , , 3,2 2 223 33 3 19 322EG . , 7, ,4 2 23 19 3 3 19 3 19 3 622 , ( ) ( )47 4 7 4 7 EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF DECP EF DC DE DFDP CP DE EF AE AF EFDF AE EFEH HGAF                           为二面角 的平面角 设 从而 ∥ 即 还易求得EF= 从而 易得 故 3 , 47 6 3 4 7 2 57cos .194 7 3 19 GHEHG EH      1 2 : , , , , , 2, 1(0,0,2),C(0,2,0),P(2 3,0,0), , (2 3 ,2 2 ,0), , ,4 3 3 3 1( , ,0) , ( ,0,0), ADF CP ( 3, 1,0),2 2 2 2 AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n              解法二 分别以 为 轴建立空间直角坐标系 设 则 设 则 可得 从而 易得 取面 的一个法向量为 设面 的一个法向量为 22 12 2 12 , y,z), 0, 0, 4 3 2 57(4,0, 3), .19| | | | 2 19 n AE n AF nnn nn         利用 且 得 可以是 从而所求二面角的余弦值为 19.（14 分）设数列 na 的前 n 和为 nS ,满足 2* 12 3 4 ,nnS na n n n N    ，且 3 15S  . (1)求 1 2 3,,a a a 的值; (2)求数列 的通项公式; 2 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 : (1) 2 3 1 4 1 2 7 + = 4 3 2 4 2 4( ) 20 4(15 ) 20, + 8 3, , 15 8 7,5 3, 5, 7, (2) 2 3 4 2 , 2( 1) 3( 1) 4( nn nn a S a a a a S a S a a a a a a a a S a aa a a a S na n n n S n a n n                                                 解 ① ② 联立① ②解得 综上 ③ 当 时 1 1 1 2 1) 2 1 6 1,22 (1) 2 1, : ( ) (1) , 1 , 3 2 1 1, ; ( ) , , 2 1, 2 1 6 11, 22 2 1 1(2 1) 322 4 1 1322 23 2( 1) 1 1 nn n k kk nnaann an i n a ii n k a k kkn k a akk k kkk k kk k k nk                                ④ ③ ④并整理得: 由 猜想 以下用数学归纳法证明 由 知 当 时 猜想成立 假设当 时 猜想成立 即 则当 时 这就是说 , , , 2 1.nn N a n  时 猜想也成立 从而对一切 20.（14 分）已知椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab    的一个焦点为( 5,0) ，离心率为 5 3 ， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点 00( , )P x y 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程. 2 2 2 22 00 22 00 22 55: (1) 5, , 3, 9 5 4,3 1.94 (2) , , 4 ( 3, 2),(3, 2). ( ), ( ) , 194 (9 4) 18 ( cc e a b a caa xyC xy y y k x x xyy k x x y k x k y                           解 椭圆 的标准方程为: 若一切线垂直 轴 则另一切线垂直于 轴 则这样的点P共 个, 它们的坐标分别为 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为 即 将之代入椭圆方程 中并整理得: 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 2 0 22 00 ) 9 ( ) 4 0, , 0, (18 ) ( ) 36 ( ) 4 (9 4) 0, 4( ) 4(9 4) 0, 4( 9) 2 4 0, , 1, : 1,9 13, ( 3, 2),(3, 2) kx x y kx k y kx y kx k y kx k yx k x y k y k k x xy                                   依题意 即: 即 两切线相互垂直 即 显然 这四点也满足以上方 22 , 13.P x y   程 点 的轨迹方程为 21.（本题 14 分）设函数 2 2 2 1() ( 2 ) 2( 2 ) 3 fx x x k x x k        ，其中 2k  ， （1）求函数 ()fx的定义域 D（用区间表示）； （2）讨论 ()fx在区间 D 上的单调性； （3）若 6k  ，求 D 上满足条件 ( ) (1)f x f 的 x 的集合（用区间表示）. 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 : (1)( 2 ) 2( 2 ) 3 0, 2 1 2 3 : 2 1 0, 4 4( 1) 4(2 ) 0 ( 2), 2 1=0 1 2 , 2 1 0 : 1 2 1 2 , 2 3 0, 2 3 0 4 4( 3) x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k k x x k x k x k x x k x x k k                                                             解 则 ①或 ② 由①得 方程 的解为 由 得 或 由②得: 方程 的判别式 2 2 2 2 3 ' 2 4( 2 ) 0 ( 2), 1 2 , 2 3 0 : 1 2 1 2 . 2, 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , ( , 1 2 ) ( 1 2 , 1 2 ) ( 1 2 , ). (2) ( 2 ) 2( 2 ) 3 0, 1( ) 2(2 kk k x x k k x k k k k k k D k k k k u x x k x x k f x u x                                                                            该方程的解为 由 得 设 则 2 3 22 2' 2' 2 2 ) (2 2) 2(2 2) 2 ( 1) ( 2 1) ( ) ( , 1 2 ) , 1 0, 2 1 1 1 0, ( ) 0 ; ( ) ( 1 2 , 1) , 1 0, 2 1 3 1 0, ( ) 0 ; ( ) ( 1, 1 2 ) , 1 0, 2 1 3 1 0, x k x x u x x x k i x k x x x k f x ii x k x x x k f x iii x k x x x k f                                                               当 时 当 时 当 时 ' 2' ( ) 0 ; ( ) ( 1 2 , ) , 1 0, 2 1 1 1 0, ( ) 0 . , ( ) : ( , 1 2 ),( 1, 1 2 ) , ( ) : ( 1 2 , 1),( 1 2 , ) . x iv x k x x x k f x f x D k k f x D k k                                   当 时 综上 在 上的单调增区间为 在 上的单调减区间为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3) g(x) ( 2 ) 2( 2 ) 3, (1) , x D ,g(x) 0; g(1) (3 k) 2(3 ) 3 ( 6)( 2), , 6 , (1) 0, ( ) (1) ( ) (1), ( ) (1) [( 2 ) 2( 2 ) 3] [(3 k) 2(3 ) 3] [( 2 ) (3 k) ] x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k                                          设 由 知 当 时 又 显然 当 时 从而不等式 22 2 2[( 2 ) (3 )] ( 3)( 1)( 2 2 5), ( ) ( 3)( 1) 0, ( ) (1), ( ) ( 6, 1 4 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 1 4 2 , 1 2 , 1 4 2 1 4 2 , 1 4 2 1), 2 2 5 0, k k k k k k k x x k k x x x x k i x x x f x f g xk kx g x k kx x k                                                                         当 欲使 即 亦即 即 时 22 2 2 ( 3)( 1) 0, 2 2 5 ( 2 ) ( 5) 3 ( 5) 0, ( ) (1), ( ) (1); ( 12 iii) 3 1 ,( 3)( 1) 0, 2 2 5 3 ( 5) 0, ( ) (1), ; (iv)1 ( ; ( ) 1 2 3 , 12 3)( 1) 0,, 2 k ii k x k x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x                                                     时 时 此时 即 时 不合题意 21 2 , 1 4 2 1 4 2 , 2 5 3 ( 5) 0, ( ) (1), ; (v) ( 3)( 1) 0, ( ) (1), 2 2 5 0, ( ) (1) 1 2 1 4 2 . , 1 4 2 , 1 2 ) ( 1 2 , 3) ( 1 2 ) ( 1(,,1 2 1 4 k k k g x k x k g x x x g x g k x k k k k k k x x k f x f                                                                   时 从而 综 合题意 欲使 则 即 的解集为:上所述 2 ).k