数学卷·2018届江苏省启东中学高三上学期第二次月考试题（解析版）

数学卷·2018届江苏省启东中学高三上学期第二次月考试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第二次月考 高三数学试卷(Ⅰ)‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 已知集合，集合，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2. 若复数其中是虚数单位，则 ____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：从两盒中随机各取一个球，共有种基本事件，其中没有一个红球包含种基本事件，因此至少有一个红球的概率为 考点：古典概型概率 ‎4. 如图所示的流程图，是一个算法流程图,则输出的的值是_____．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】循环依次为 ，结束循环，输出 ‎ ‎5. 已知抛物线方程，则抛物线的焦点坐标为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点坐标为 ‎ ‎6. 已知函数，则函数的定义域为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即定义域为 ‎7. 在△ABC中， ÐABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为 ‎.....................‎ ‎9. 已知数列是等比数列，若，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由得 ，所以 ，即最小值为1‎ ‎10. 在平面直角坐标系中，若双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎11. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，， BB1＝3，点D为侧棱BB1 上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 由等面积法得 ‎ 将侧面展开得,所以 ‎ 点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.‎ ‎12. 若方程在上有且只有两解，则实数的取值范围_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 所以当时， 与 只有一个交点，‎ 当时，方程解 所以要使方程在上有且只有两解，实数的取值范围 ‎13. 已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC： ‎ 由得 ， ‎ 点睛：与圆上点有关代数式的最值或范围的常见类型及解法．①形如型的最值或范围问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值或范围问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值或范围问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎14. 已知函数其中，若函数的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 关于y轴对称的曲线为，由图知 ‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)在中，角的对边分别为.若锐角满足，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式以及二倍角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期（2）先求A,再根据两角和正弦公式求，由正弦定理求a，最后根据面积公式求面积 试题解析：解：(1) ‎ ‎ ‎ 所以，函数的最小正周期. ‎ ‎(2) ‎ 因为A为锐角，所以.‎ 所以，，得 ‎ 由正弦定理， ‎ 所以，.‎ 所以 ‎16. 如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．‎ 求证：(1)平面；‎ ‎ (2)平面平面．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）与平面内的平行，所以平面.‎ ‎（2）通过证明 ， 可得平面．结合平面， 可得平面平面．‎ 试题解析：（1）在三棱柱中，，‎ ‎ 又平面，平面，‎ ‎ 所以平面． ‎ ‎（2）在直三棱柱中，平面，‎ 又平面，所以 ． ‎ 因为，所以．‎ 又因为点为棱的中点，所以 ． ‎ 又 ， 平面，‎ 所以平面． ‎ 又平面，‎ 所以平面平面．‎ 点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。‎ ‎17. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中，为扇形的圆心，同时紧贴水池周边(即：和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.‎ ‎(1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；‎ ‎(2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？‎ ‎【答案】（1），，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据总费用确定和关系，再根据扇形面积公式得关于r函数，利用导数或基本不等式求最值（2）先根据步道长确定和关系，再根据扇形面积公式得关于r二次函数 ，根据对称轴与定义区间位置关系求最值 试题解析：解(1)法1：弧长AB为，扇形面积为， ‎ 则即 所以 ‎ 当且仅当取等号，此时 答：，，面积最大值为400平方米.‎ 法2：利用基本不等式. ‎ ‎(2) 由 ‎ ‎, ‎ 所以 ‎ 所以所以 ‎ ‎.,，‎ 所以，时，水池的最大面积为337.5平方米. ‎ 答：的取值范围为，且当，，水池的最大面积为337.5平方米.‎ ‎18. 已知椭圆：的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果直线的斜率等于，求的值；‎ ‎（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得（2）先设、，利用斜率公式化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（3）设直线：，同（2）化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足 试题解析：解：（1）， ， ，‎ 椭圆方程为. ‎ ‎（2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F，‎ 所以直线， ‎ 设、，‎ 由消得，‎ 则有，． ‎ 所以. ‎ ‎（3）当直线的斜率不存在时， ，，‎ 则，，故． ‎ 当直线的斜率存在时，设其为，‎ 则直线：，‎ 设，，‎ 由消得，‎ 则有，． ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ . ‎ 所以为定值，且定值为2.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.‎ ‎ 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎19. 已知数列{an}为等比数列， 公比为为数列{an}的前n项和.‎ ‎（1）若求;‎ ‎（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；‎ ‎（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）17（2） （3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）化简不等式得，代入n=1得，代入n=2得 ，再由 ，得 ‎ 试题解析：解：（1）因为所以，‎ 所以或（舍去）． ‎ 所以 ‎ ‎（2）若或成等差数列，‎ 则，解得或1（舍去）；‎ 若或成等差数列，‎ 则，解得或1（舍去）； ‎ 若成等差数列，‎ 则，解得（舍去）. ‎ 综上， ‎ ‎（3）由，可得，‎ 故等价于恒成立. ‎ 因为 所以 得到 当时，不可能成立. ‎ 当时，另 ，得，解得 因为 ，所以 ‎ 即当时，，所以不可能成立. ‎ 当时，由 ，‎ 即，所以 即当时，不成立. ‎ 当时，‎ 所以当时，恒成立. ‎ 综上，存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立,‎ 的取值范围为.‎ ‎20. 已知函数，.‎ ‎(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.‎ ‎(2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。‎ ‎①求实数a的取值范围； ‎ ‎②证明：.‎ ‎【答案】（1）或.（2）①②见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别式为零得斜率（2）①先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件②构造函数，，利用导数易得函数单调递增，即得结论 试题解析：解:(1)解法一 设经过点的切线与曲线相切于点，‎ 由得，‎ 所以该切线方程为， ‎ 因为该切线经过，‎ 所以，解得，‎ 所以切线方程为或. ‎ 解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在，‎ 设所求的切线方程为，‎ 由 ，得， ‎ 因为切线与抛物线相切，‎ 所以，解得，‎ 所以所求的切线方程为或. ‎ ‎（2）①由，得.‎ 设，‎ 则，‎ 由题意得函数恰好有两个零点. ‎ ‎（i）当，则，‎ 只有一个零点1． ‎ ‎（ii）当时，由得，由得，‎ 即在上为减函数，在上为增函数，‎ 而，‎ 所以在上有唯一零点，且该零点在上.‎ 取且，‎ 则 所以在上有唯一零点，且该零点在上，‎ 所以恰好有两个零点. ‎ ‎（iii）当时，由得，‎ 若，，‎ 所以在上至多有一个零点.‎ 若，则，‎ 当时，，即在上单调递减．‎ 又，所以在上至多有一个零点.‎ 当时，在上单调递增，在上为减函数，‎ 又，‎ 所以h(x)在上无零点. ‎ 若，则，‎ 又当时，，‎ 所以不存在零点．‎ 在上无零点 故当时，；当时，．‎ 因此在上单调递增，在上单调递减．‎ 又。‎ 所以在无零点，在至多有一个零点． ‎ 综上，的取值范围为． ‎ ‎②不妨设，‎ 由①知，，且，在单调递减，‎ 所以等价于，即．‎ 由于，‎ 且，‎ 所以． ‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，所以.‎ 而，故当时，．‎ 从而，故．‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎ ‎