数学（文）卷·2018届湖南省醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考（2017-04）

数学（文）卷·2018届湖南省醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考（2017-04）

醴陵二中、四中高二文科数学期中考试试题卷 命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：‎ 时量：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．若，则( )；‎ A． B. C． D.‎ ‎2. 设有一个回归方程＝6－6.5x，变量x每增加一个单位时，变量平均(　　)‎ A．增加6.5个单位 B．增加6个单位 C．减少6.5个单位 D．减少6个单 ‎3. 已知函数的定义域为 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C ． D． ‎ ‎4. 已知，，，则三者的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的实数解落在的区间是( )‎ A B C D ‎ ‎6．函数，满足的的取值范围（ ）‎ A． B C． D． ‎ ‎7. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 ‎(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ ‎8. 一长方体，其长、宽、高分别为3，1，，，则该长方体的外接球的表面积是(　　)‎ A．16π B．64π C. D. ‎9. 为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：‎ 数学 物理　　　‎ ‎85～100分 ‎85分以下 合计 ‎ 85～100分 ‎37‎ ‎85‎ ‎122‎ ‎85分以下 ‎35‎ ‎143‎ ‎178‎ 合计 ‎72‎ ‎228‎ ‎300‎ 附表： ‎ k＝ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为(　　)‎ A．0.5 B．1% C．2% D．5%‎ ‎10．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎11. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，‎ 若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)‎ A．90° B．45°‎ C．60° D．30° ‎ ‎12．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________‎ ‎14．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，‎ 则二面角C1BD C的正切值为________．‎ ‎15．已知函数是定义在上的奇函数，‎ 当时，，则的值为________‎ ‎16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 018对应于________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,请写出文字说明，证明或演算步骤）[]‎ ‎17．(10分)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．‎ ‎18、（12分)求下列表达式的值 ‎（1）（a>0,b>0） (2) lg-lg+lg ‎19．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎ (1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值 ‎[学科]‎ ‎ ‎ ‎20.（12分）设函数 ‎（1）试证明在上为单调递减函数；‎ ‎（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围。‎ ‎21． (12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；‎ ‎(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．‎ ‎ ‎ ‎22. （12分）已知圆，直线，圆与轴相交于点（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．‎ ‎（1）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值。‎ ‎ ‎ 醴陵二中、四中高二文科数学期中考试参考答案 命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：‎ 时量：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．若，则( D )；‎ A. B C D ‎2. 设有一个回归方程＝6－6.5x，变量x每增加一个单位时，变量平均(　C　)‎ A．增加6.5个单位 B．增加6个单位 ‎ C．减少6.5个单位 D．减少6个单 ‎3. 已知函数的定义域为 （ D ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C ． D． ‎ ‎4. 已知，，，则三者的大小关系是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的实数解落在的区间是( B )‎ A B C D ‎ ‎6．函数，满足的的取值范围（ D ）‎ A． B C． D． ‎ ‎7. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 ‎(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　C　)‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ ‎8. 一长方体，其长、宽、高分别为3，1，，，则该长方体的外接球的表面积是(　A　)‎ A．16π B．64π C. D. ‎9. 为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：‎ 数学 物理　　　‎ ‎85～100分 ‎85分以下 合计 ‎ 85～100分 ‎37‎ ‎85‎ ‎122‎ ‎85分以下 ‎35‎ ‎143‎ ‎178‎ 合计 ‎72‎ ‎228‎ ‎300‎ 附表： ‎ k＝ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为(　D　)‎ A．0.5 B．1% C．2% D．5%‎ ‎10．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(　A　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎11. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，‎ 若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　D　)‎ A．90° B．45°‎ C．60° D．30° ‎ ‎12．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　C　)‎ A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________‎ ‎14．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，‎ 则二面角C1BD C的正切值为________．‎ ‎15．已知函数是定义在上的奇函数，‎ 当时，，则的值为_____-2___‎ ‎16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 018对应于__(45，19)______．‎ ‎[]‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,请写出文字说明，证明或演算步骤）‎ ‎17．(10分)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，‎ ‎ (1)求直线l的方程；‎ ‎(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．‎ 解 (1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)整理得 ‎3x＋4y－14＝0.----------------------------5分 ‎(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，‎ d＝＝3，‎ 解得n＝1或－29.‎ ‎∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. ----------------------------10分 ‎18、（12分)求下列表达式的值 ‎（1）（a>0,b>0） (2) lg-lg+lg 解（1）原式=------------6分 ‎ （2）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245‎ ‎= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)‎ ‎=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5‎ ‎=lg(2×5)= lg10=-----------------12分 ‎19．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎ (1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值 ‎ ‎ ‎(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，‎ 所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，‎ 又PQ⊄平面ACD，‎ 从而PQ∥平面ACD.-----------------6分 ‎(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.‎ 因为DC⊥平面ABC，‎ EB∥DC，‎ 所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.‎ 故CQ⊥平面ABE.‎ 由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ 所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.‎ 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，--------------------------10分 在Rt△DPA中，AD＝， DP＝1，‎ sin∠DAP＝，‎ 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.--------------12分 ‎20.（12分）设函数 ‎（1）试证明在上为单调递减函数；‎ ‎（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围。‎ 解（1）设，则（3分）‎ ‎ 即 ‎ 所以在上的单调递减函数 ---------- 6分 （2） 因是上的单调递减函数 ‎ 所以在区间上是单调递增函数----------8分 ‎ 所以，当时，的值域是，即-----------10分 ‎ 由在区间上没有零点得 或 ‎ 所以 或 ----------- 12分 ‎21． (12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；‎ ‎(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．‎ ‎ (1)证明　连接OE，如图所示．‎ ‎∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，‎ 又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．‎ 又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．-------------6分 ‎(2)解　取OC中点F，连接EF．‎ ‎∵E为PC中点，‎ ‎∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．‎ 又∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴EF⊥面ABCD ‎∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．‎ ‎∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，----------------10分 ‎∴∠EOF＝30°．‎ 在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．‎ ‎∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．----------------12分 ‎22. （12分）已知圆，直线，圆与轴相交于点（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．‎ ‎（1）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值。‎ 解：（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离 ‎ 设直线的方程为，即 ‎ 由 解得 又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求 所以直线的方程是或 ---------6分 ‎（2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为 ‎ 由 解得 ‎ 从而得点 ‎ ‎ 所以 ----------12分 ‎ 方法2：设点的坐标为，‎ ‎ 若 ，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 当时，同理可得 ‎ 所以为定值 ‎ 方法3：设点的坐标为, 则 ‎ 则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎