数学理卷·2017届山东省淄博十中高三下学期第三次月考（2017

数学理卷·2017届山东省淄博十中高三下学期第三次月考（2017

淄博十中高三第三次月考试题 理科数学 第Ⅰ卷（选择题，共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，其中为虚数单位，则的实部为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．数列为等差数列，为等比数列，，则 （ ）‎ A． B． ‎ 第4题图 C． D．‎ ‎4．函数（）的图象如图所示，则的值为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是 （ ）‎ A． B． ‎ 输入 否 是 结束 开始 输出 C． D．‎ ‎7．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生名，抽取了一个容量为 的样本，已知样本中女生比男生少人，则该校共有女生（ ）‎ A．人 B．人 ‎ C．人 D．人 ‎ ‎8．已知点与点在直线的两侧，且， 则的取值范围是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知三棱锥中，，，，，，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为 （ ）‎ A．表面积 ‎ B．表面积为 ‎ C．体积为 ‎ D．体积为 ‎10．已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．抛物线的焦点坐标为 ；‎ ‎12．已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当等于时，预测的值为 ；‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎13．已知，和的夹角为，以为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；‎ ‎14．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则 ；‎ ‎15．对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；‎ ‎③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；‎ ‎④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．‎ 其中所有真命题的序号是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求的外接圆的面积．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）从区间内任取一个实数，设事件={函数在区间上有两个不同的零点}，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为）得到的点数分别为和，记事件{在恒成立}，求事件发生的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足：‎ 且．‎ ‎（Ⅰ）令，判断是否为等差数列，并求出；‎ ‎（Ⅱ）记的前项的和为，求．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知函数，，其中，为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）记的面积为，求的最大值．‎ 淄博十中第三次月考试题参考答案 ‎1---5B D D A C 6--10 C D D A B 11． 12． 13． 14． 15．①②④‎ ‎16．解：（Ⅰ）‎ ‎，…2分 所以，函数的最小正周期为． ………………3分 由（）得（）， ‎ 函数的单调递增区间是（）………………………………5分 ‎（Ⅱ）， ‎ ‎，……………7分 从而 ‎ ‎，………………………………………………10分 设的外接圆的半径为，‎ 由 的外接圆的面积………………………………………………12分 ‎17．解：（Ⅰ）函数在区间上有两个不同的零点，‎ ‎，即有两个不同的正根和 ‎…4分 …………………6分 ‎（Ⅱ）由已知：，所以，即 ‎， ‎ 在恒成立 …… ……………………………8分 当时，适合； 当时，均适合； ‎ 当时，均适合； 满足的基本事件个数为．…10分 而基本事件总数为，…………11分 ． …………12分 ‎ ‎18．证明：（Ⅰ） 连结和交于，连结，…………………………………………1分 为正方形，为中点，为中点，， ………4分 平面，平面 平面．……………………………5分 ‎（Ⅱ） 作于 平面，平面，，‎ 为正方形，，平面，‎ 平面，……………7分 ，，‎ 平面………8分 平面，平面，，，‎ ‎， …10分 四棱锥的体积 ………12分 ‎19．解：（Ⅰ）‎ 即…………4分 ，‎ 是以为首项，以为公差的等差数列 ……5分 …………6分 ‎（Ⅱ）对于 当为偶数时，可得即，‎ 是以为首项，以为公比的等比数列；………………………8分 ‎ 当为奇数时，可得即，‎ 是以为首项，以为公差的等差数列…………………………10分 ‎ …12分 ‎20．解：（Ⅰ），，‎ 在处的切线与直线垂直， ………3分 ‎（Ⅱ）的定义域为，且 ．令，得． …4分 ‎ 若，即时，，在上为增函数，；…………5分 若，即时，，在上为减函数，；……6分 若，即时，由于时，；时，，所以 综上可知………8分 （Ⅲ）的定义域为，且 ． 时，，在上单调递减．………9分 令，得 ‎①若时，，在上，单调递增，由于在上单调递减，所以不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；……………10分 ‎ ‎②若时，，在上，单调递减；‎ 在上，单调递增．由于在上单调递减，存在区间，使得和在区间上均为减函数． ‎ 综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．………………13分 ‎ ‎21解：（I）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆 只能内切……2分 圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，‎ 故圆心的轨迹：……………………4分 ‎（II）设，直线，则直线 由可得：， ‎ ‎ ……………………………6分 由可得：‎ ‎…8分 ‎ ‎ ‎ 和的比值为一个常数，这个常数为………9分 ‎（III），的面积的面积 到直线的距离 ‎…11分 令，则 ‎ ‎（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值…………14分 ‎