2020高中数学 课时分层作业13 等比数列 新人教A版必修5

2020高中数学 课时分层作业13 等比数列 新人教A版必修5

课时分层作业(十三)　等比数列 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若正数a，b，c组成等比数列，则log‎2a，log2b，log‎2c一定是(　　)‎ A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 A　[由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，‎ ‎∴log2b2＝log‎2ac 即2log2b＝log‎2a＋log‎2c，‎ ‎∴log‎2a，log2b，log‎2c成等差数列．]‎ ‎2．等比数列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　) ‎ ‎【导学号：91432196】‎ A．3×10－5　　　　　　　 B．3×29‎ C．128 D．3×2－5或3×29‎ D　[设公比为q，则＋12q＝30，‎ ‎∴2q2－5q＋2＝0，‎ ‎∴q＝2或q＝，‎ ‎∴a10＝a3·q7＝12·27或12·7，‎ 即3×29或3×2－5.]‎ ‎3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．±6 D．±12‎ C　[a＝＝，‎ b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，‎ ‎∴ab＝±6.]‎ ‎4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的(　　)‎ ‎【导学号：91432197】‎ - 5 -‎ A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 B　[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，‎ ‎∴前项为－4，公比为.‎ ‎∴由－4×n－1＝－13，解得n＝4.]‎ ‎5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)‎ A．－2 B．1或－2‎ C．1 D．1或2‎ B　[根据题意，代入公式 ‎ 解得：，或.]‎ 二、填空题 ‎6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a‎4a6＝‎4a，则a3＝________.‎ ‎【导学号：91432198】‎ ‎1　[设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4，‎ ‎∴q4＝，q2＝，‎ ‎∴a3＝a1q2＝2×＝1.]‎ ‎7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.‎ ‎3×2n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.‎ 所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]‎ ‎8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.‎ ‎【导学号：91432199】‎ ‎27　[由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，‎ ‎∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)，‎ ‎∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]‎ 三、解答题 ‎9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？‎ ‎[解]　(1)因为2an＝3an＋1，‎ - 5 -‎ 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，‎ 所以a5＝3，由于各项均为负，‎ 故a1＝－，an＝－n－2.‎ ‎(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．‎ ‎10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.‎ ‎(1)求证：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求{bn}的通项公式.‎ ‎【导学号：91432200】‎ ‎[解]　(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，‎ ‎∴＝＝＝－.‎ ‎∴{bn}是等比数列．‎ ‎(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，‎ ‎∴bn＝1×n－1＝n－1.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,‎2a2成等差数列，则等于(　　)‎ A.＋1 B．3＋2 C．3－2 D．2－3‎ C　[设等比数列{an}的公比为q，‎ 由于a1，a3,‎2a2成等差数列，‎ 则2＝a1＋‎2a2，即a3＝a1＋‎2a2，‎ 所以a1q2＝a1＋‎2a1q.‎ 由于a1≠0，‎ 所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.‎ 又等比数列{an}中各项都是正数，‎ - 5 -‎ 所以q>0，所以q＝1＋.‎ 所以＝＝＝＝3－2.]‎ ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ ‎【导学号：91432201】‎ A．2 B．1‎ C. D. C　[法一：∵a‎3a5＝a，a‎3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，‎ ‎∴a－‎4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，‎ ‎∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.‎ 法二：∵a‎3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，‎ 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，‎ 解得q＝2，‎ ‎∴a2＝a1q＝，故选C.]‎ ‎3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且‎2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.‎ 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a‎2a7，‎ ‎∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋‎3a1＝0.①‎ 又∵‎2a1＋a2＝1，∴‎3a1＋d＝1.②‎ 由①②解得a1＝，d＝－1.]‎ ‎4．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________‎ ‎【导学号：91432202】‎ ‎64　[设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∴⇒解得 ‎∴a‎1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)‎ ‎＝ ‎ ‎＝，当n＝3或4时，‎ - 5 -‎ 取到最小值－6，‎ 此时取到最大值26，所以a‎1a2…an的最大值为64.]‎ ‎5．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.‎ ‎[解]　因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，‎ 所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，‎ 将cn＝2n＋3n代入上式得，‎ ‎[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，‎ 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，‎ 解得p＝2或p＝3.‎ - 5 -‎