数学理卷·2018届河北省唐山市开滦第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届河北省唐山市开滦第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

唐山市开滦一中2016—2017年度第二学期高二年级期中试卷 ‎ 数学试卷 （理科） 命题人： ‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）‎ ‎1、复数 等于 ( )‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。 B. C. D. ‎ ‎2、用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于错误！未找到引用源。”时，反设正确的是（ ）.‎ A．假设三内角都不大于错误！未找到引用源。 B．假设三内角都大于错误！未找到引用源。‎ C．假设三内角至多有一个大于错误！未找到引用源。 D．假设三内角至多有两个大于错误！未找到引用源。‎ ‎3、把 6本不同的书借给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本，不同的借书方法有( )‎ ‎ A. 15种 B. 90种 C. 270 种 D. 540 种 ‎ ‎ 4、下列求导运算正确的是（ ） ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5、某个与正整数 错误！未找到引用源。 有关的命题，如果当 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。 且 错误！未找到引用源。）时命题成立，则一定可推得当 错误！未找到引用源。 时，该命题也成立．现已知n=7时，该命题不成立，那么应有 ( )‎ ‎ A. 当 时该命题成立 B. 当 错误！未找到引用源。 时该命题成立 ‎ C. 当 时该命题不成立 D. 当 错误！未找到引用源。 时该命题不成立 ‎6、设物体以速度作直线运动，则它在内所走的 路程为（ ） ‎ ‎ 7、若复数 错误！未找到引用源。 满足 错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. ‎ ‎8、函数 错误！未找到引用源。 有极大值和极小值，则 错误！未找到引用源。 的取值范围是 错误！未找到引用源。‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。‎ ‎ C. 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。‎ ‎9、函数 的最大值为 错误！未找到引用源。‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知函数错误！未找到引用源。的图象如图所示（其中 错误！未找到引用源。 是定义域为 错误！未找到引用源。 的函数 错误！未找到引用源。 的导函数），则以下说法错误的是 错误！未找到引用源。 ‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。‎ ‎ B. 当 错误！未找到引用源。 时，函数 错误！未找到引用源。 取得极大值 ‎ C. 方程 错误！未找到引用源。 与 错误！未找到引用源。 均有三个实数根 ‎ D. 当 错误！未找到引用源。 时，函数 错误！未找到引用源。 取得极小值 ‎11、函数 错误！未找到引用源。 存在与直线 错误！未找到引用源。 平行的切线，则实数 错误！未找到引用源。 的取值范围是 错误！未找到引用源。‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。‎ ‎12、设 错误！未找到引用源。 是定义在 错误！未找到引用源。 上的函数，其导函数为 错误！未找到引用源。 若 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则不等式 错误！未找到引用源。（其中 错误！未找到引用源。 为自然对数的底数）的解集为 错误！未找到引用源。‎ ‎ A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。‎ ‎ C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、（本题共4小题，每小题5分,共20分，把答案写在题中横线上）‎ ‎13、若复数 错误！未找到引用源。 满足 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。 是虚数单位），则 错误！未找到引用源。 的共轭复数是  ‎ ‎14、从 错误！未找到引用源。 名男生和 错误！未找到引用源。 名女生中，选出 错误！未找到引用源。 名代表，要求至少包含 错误！未找到引用源。 名女生，则不同的选法共有  种．‎ ‎15、已知函数 错误！未找到引用源。 的图象经过点 错误！未找到引用源。，且在点 错误！未找到引用源。 处的切线方程是 错误！未找到引用源。，则函数 错误！未找到引用源。 的解析式为  ．‎ ‎16、求曲线y＝x2－1(x≥0), 直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积 ‎ ‎ ‎ 班级____________ 姓名____________ 考号____________ 年级名次____________‎ ‎…………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………………‎ 填空题答题区 ‎13、 14、 ‎ ‎15、 16、 ‎ 三、解答题（本题共6道题，共70分）‎ ‎17、(10分) ‎ 当实数 错误！未找到引用源。 为何值时，复数 错误！未找到引用源。 是 Ⅰ 实数? Ⅱ纯虚数?‎ ‎18、(12分) 已知函数 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．‎ Ⅰ 若 错误！未找到引用源。，求函数 错误！未找到引用源。 的单调递增区间；‎ Ⅱ 若函数 错误！未找到引用源。 在区间 错误！未找到引用源。 上单调递减，求实数 错误！未找到引用源。 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎19、(12分)已知函数 错误！未找到引用源。 在区间 错误！未找到引用源。 上有极大值 Ⅰ 求实数 错误！未找到引用源。 的值；Ⅱ 求函数 错误！未找到引用源。 在区间 错误！未找到引用源。 上的极小值．‎ ‎20、(12分)已知函数 错误！未找到引用源。，其中 错误！未找到引用源。 为常数．‎ Ⅰ 若对任意 错误！未找到引用源。 有 错误！未找到引用源。 成立，求 错误！未找到引用源。 的取值范围；‎ Ⅱ 当 错误！未找到引用源。 时，判断 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上零点的个数，并说明理由．‎ ‎21、(12分)数列 错误！未找到引用源。 满足 错误！未找到引用源。．‎ Ⅰ 计算 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，并由此猜想数列 错误！未找到引用源。 的通项公式；‎ Ⅱ 用数学归纳法证明（1）中的猜想．‎ ‎22、(12分)已知函数 错误！未找到引用源。．‎ Ⅰ 讨论函数 错误！未找到引用源。 的单调性；‎ Ⅱ 设 错误！未找到引用源。，若 错误！未找到引用源。 对 错误！未找到引用源。 恒成立，求 错误！未找到引用源。 的取值范围．‎ 附加题：附加题：先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：‎ 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.‎ 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，‎ f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.‎ 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.‎ ‎(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；‎ ‎(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．‎ 一、选择题 ‎1、C 【解析】错误！未找到引用源。．‎ ‎2、 B ‎ ‎3、 B ‎4、B ‎5、D【解析】反证法易得 ‎6、B ‎ ‎7、 C 【解析】错误！未找到引用源。．‎ ‎8、 C ‎9、A 【解析】令 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。；‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，‎ 在定义域内只有一个极值，‎ 所以 错误！未找到引用源。．‎ ‎10、 C ‎11、 C 【解析】错误！未找到引用源。，据题意知 错误！未找到引用源。 有解，即 错误！未找到引用源。 有解．因为 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。．‎ ‎12、D 【解析】设 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，‎ 则 错误！未找到引用源。，‎ 因为 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。 在定义域上单调递减，‎ 因为不等式 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 又因为 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。．‎ 二、填空题 ‎13、 错误！未找到引用源。‎ ‎【解析】因为 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。 的共轭复数是 错误！未找到引用源。‎ ‎14、 错误！未找到引用源。 15、错误！未找到引用源。‎ ‎16、解　如图所示，所求面积：‎ S＝ʃ|x2－1|dx＝－ʃ(x2－1)dx＋ʃ(x2－1)dx ‎＝－(x3－x)|＋(x3－x)|＝1－＋－2－＋1＝2.‎ ‎17、（1） 由题意知 错误！未找到引用源。 所以 错误！未找到引用源。．‎ 故当 错误！未找到引用源。 时，复数 错误！未找到引用源。 为实数． …………………………….5‎ ‎        （2） 由题意得 错误！未找到引用源。 所以 错误！未找到引用源。 ‎ 所以 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。．‎ 故当 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。 时，复数 错误！未找到引用源。 为纯虚数． ………………………..10‎ ‎18、（1） 求导得 错误！未找到引用源。，令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。，‎ 解得 错误！未找到引用源。，‎ 所以单调递增区间为 错误！未找到引用源。． ………………………..6‎ ‎    （2） 求导得 错误！未找到引用源。，函数 错误！未找到引用源。 在区间 错误！未找到引用源。 上单调递减，‎ 即 错误！未找到引用源。 在区间 错误！未找到引用源。 上恒成立．‎ 即 错误！未找到引用源。，也就是 错误！未找到引用源。．‎ 易知函数 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 的最大值为 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。． ……………………………..12‎ ‎19、（1） 错误！未找到引用源。．‎ 令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。．‎ 故 错误！未找到引用源。 的增区间为 错误！未找到引用源。 和 错误！未找到引用源。，减区间为 错误！未找到引用源。．…………….4‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 取得极大值，‎ 故 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。． …………………..6‎ ‎      （2） 由（1）得 错误！未找到引用源。．‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 有极小值，为 错误！未找到引用源。． …………………………12‎ ‎20、（1） 依题意，可知 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上连续，且 错误！未找到引用源。．‎ 令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。．‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 单调递减；‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 单调递增．‎ 所以当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 为极小值，也是最小值． ………………….4‎ 令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。，‎ 即对任意 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 恒成立时，错误！未找到引用源。 的取值范围是 错误！未找到引用源。． …………..6‎ ‎    （2） 由（1）知 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上至多有两个零点，‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。．‎ 又 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。，‎ 于是 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上有一个零点． ………………8‎ 又 错误！未找到引用源。，令 错误！未找到引用源。，‎ 因为当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，‎ 所以错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上单调递增．‎ 从而 错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。．‎ 所以 错误！未找到引用源。， …………..10‎ 于是 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上有一个零点．‎ 综上，错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上有两个零点． … …………..12‎ ‎21、（1） 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。；‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。；‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。；‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。． ………..4‎ 由此猜想 错误！未找到引用源。． ………..6‎ ‎    （2） ① 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，结论成立．‎ ‎② 假设当 错误！未找到引用源。 时，结论成立，即 错误！未找到引用源。．‎ 则当 错误！未找到引用源。 时，‎ ‎ 错误！未找到引用源。，‎ 整理，得 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 因此当 错误！未找到引用源。 时，结论也成立．‎ 由①②可知，错误！未找到引用源。． ……………..12‎ ‎22、‎ ‎    （1） 错误！未找到引用源。，‎ 令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。，或 错误！未找到引用源。．‎ ‎ 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，且 错误！未找到引用源。．‎ ‎①当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．‎ 所以 错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上递增；‎ ‎②当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 是单调递减；‎ 在 错误！未找到引用源。 上单调递增；‎ ‎③当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 在 错误！未找到引用源。 上单调递增，在 错误！未找到引用源。 上单调递减． …………….6‎ ‎    （3） 由题意，错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。 对任意 错误！未找到引用源。 恒成立，‎ 令 错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。．‎ 令 错误！未找到引用源。，得 错误！未找到引用源。，‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 单调递减．‎ 当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 单调递增，‎ 所以当 错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 取得最小值 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。，‎ 解得 错误！未找到引用源。，‎ 又因为 错误！未找到引用源。，‎ 所以 错误！未找到引用源。． ………………12‎ ‎ ‎ 附加题：(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.‎ 求证：a＋a＋…＋a≥ ……….4‎ ‎(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.‎ 因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，‎ 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，‎ 从而证得a＋a＋…＋a≥. …………10‎