数学卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示， 1， 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（　　）‎ A． 1＞2，s1＜s2 B． 1=2，s1＜s2 C． 1=2，s1=s2 D． 1＜2，s1＞s2‎ ‎3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎4．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（　　）‎ A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P ‎5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎8．a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎10．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（　　）‎ A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6‎ ‎11．椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为　　．‎ ‎14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是　　．‎ ‎15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为　　．‎ ‎16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．‎ ‎19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．‎ ‎（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；‎ ‎（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；‎ ‎（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．‎ ‎20．如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．‎ ‎21．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点 ‎，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）试判断圆C与x轴的位置关系；‎ ‎（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用函数的单调性分别化简log2（2x﹣3）＜1，4x＞8，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．‎ ‎4x＞8，即22x＞23，解得x．‎ ‎∴“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示， 1， 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（　　）‎ A． 1＞2，s1＜s2 B． 1=2，s1＜s2 C． 1=2，s1=s2 D． 1＜2，s1＞s2‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论 ‎【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，‎ 乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，‎ 所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，‎ s12= [（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，‎ ‎2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，‎ s22= [（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，‎ ‎∴1=2，s1＜s2‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎　‎ ‎4．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（　　）‎ A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．‎ ‎【解答】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q ‎∴A错误；B正确；C错误；D错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．‎ ‎【解答】解：由双曲线的离心率为，‎ 则e==，即c=a，‎ b===a，‎ 由双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即有y=x．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论．‎ ‎【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，‎ 则=（a+b），‎ 两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，‎ 不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；‎ 若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，‎ 若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，‎ 同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，‎ 即φ（a，b）=0，‎ 故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．‎ ‎【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，‎ 它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．‎ 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，‎ 由≠，解得：a=．‎ 综上，a=0或，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别求出命题p和q的等价条件，利用充分必要的定义进行判断；‎ ‎【解答】解：命题p，a＞‎ 等价于，‎ 命题q，直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，圆心到直线的距离小于1，‎ 等价于即a2＞b2﹣1，显然由命题p可得命题q，反之不真；‎ ‎∴p 是q充分不必要条件，‎ 故选A；‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，‎ ‎∴，解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆方程为，‎ ‎∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），‎ ‎∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，‎ 又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，‎ ‎∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线l的斜率k==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（　　）‎ A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，‎ 如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，‎ 则|BF|=|BN|=x2+1=，‎ ‎∴x2=，‎ 把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，‎ ‎∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，‎ ‎∴|AE|=8+1=9，‎ ‎∵在△AEC中，BN∥AE，‎ ‎∴===，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】分别求出线段FB与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，B是右顶点 线段FB的垂直平分线为：x=．‎ 线段AB的中点（，）．‎ ‎∵kAB=﹣b．‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．‎ ‎∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），‎ 把x==p代入上述方程可得：y==n．‎ ‎∵m+n＞0，‎ ‎∴+＞0．‎ 化为：b＞，又0＜b＜1，‎ 解得＜b＜1．‎ ‎∴e==c=∈（0，）．‎ B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为　﹣1　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先求出当x=0时，f（0）的值，根据题意可得m的范围，根据必要条件的定义即可求出a的范围，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 函数y=g（x）的图象不过第三象限，‎ ‎∴，即．则“m＞a”是“”的必要不充分条件，‎ ‎∴，‎ 则实数a能取的最大整数为﹣1．‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（　　）0，1）中随机地取出两个数所对应的平面区域的面积，及两数之和大于对应的平面图形的面积大小，再代入几何概型计算公式，进行解答．‎ ‎【解答】解：如图，当两数之和小于时，对应点落在阴影上，‎ ‎∵S阴影==，‎ 故在区间（0，1）中随机地取出两个数，‎ 则两数之和大于的概率P=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为　15　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，‎ 由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，‎ 当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为　﹣4p2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（xA，yA），B（xB，yB）．则=4（xA•xB+yA•yB），分类讨论，结合韦达定理， =4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设A（xA，yA），B（xB，yB）．则+=（xA+xB，yA+yB），=﹣=（xB﹣xA，yB﹣yA），‎ ‎=4（xA•xB+yA•yB），‎ 若直线AB斜率存在，设为y=k（x﹣a），‎ 则，整理得：k2x2﹣2（ak2+p）x+k2a2=0，‎ xA•xB=a2，yA•yB=k2（xA﹣a）（xB﹣a）=﹣2ap，‎ ‎=4（xA•xB+yA•yB）=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2，．‎ 若直线不存在，当xA=xB=a，yA=﹣yB=时，上式也成立．‎ 故所求最小值为﹣4p2．‎ 当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立，‎ 故答案为：﹣4p2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，‎ 即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2‎ 由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，‎ 则￢p是￢q的充分不必要条件．‎ ‎（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，‎ 若￢r是￢p的必要非充分条件，‎ 则p是r的必要非充分条件，‎ 即a≥2或a+1≤，‎ 即a≥2或a≤﹣，‎ 即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．‎ ‎　‎ ‎18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：c=，a=2，又b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=x+b，与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣2=0，△≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|==，由于0≤b2≤2，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．‎ ‎∵焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=x+b，由，‎ 可得x2+2bx+2b2﹣2=0，‎ ‎∵l与椭圆C交于A、B两点，‎ ‎∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．‎ ‎∴弦长|AB|==，‎ ‎∵0≤b2≤2，‎ ‎∴|AB|=≤，‎ ‎∴当b=0，即l的直线方程为y=x时，弦长|AB|的最大值为．‎ ‎　‎ ‎19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．‎ ‎（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；‎ ‎（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；‎ ‎（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；‎ ‎（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去[50，80）外的人数，即可得到[50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；‎ ‎（Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，‎ 由茎叶图知：‎ 分数在[50，60）之间的频数为2，‎ ‎∴全班人数为．‎ ‎（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；‎ 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．‎ ‎（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，‎ 在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：‎ ‎（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，‎ 其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，‎ 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF（0，2）．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为，‎ ‎∴|MF|=m+=4，‎ 由M（4，m）在椭圆上，‎ ‎∴16=2pm，‎ ‎∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，‎ ‎∴抛物线C的标准方程为x2=8y…‎ ‎（2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，‎ ‎∵EA与C相切，‎ ‎∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，‎ ‎∴，求得，…‎ 设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，‎ ‎∵EB与圆F相切，‎ ‎∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即，‎ ‎∴，求得，…‎ ‎∴直线AB的斜率，‎ 可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）…‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程，并得到a，c的关系，联立求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系及判别式求得满足•=0成立的直线l：y=kx+m存在．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．‎ 依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1，解得c=1，a=2．‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3．‎ ‎∴椭圆C的标准方程是．‎ ‎（Ⅱ）存在直线l，使得•=0成立．理由如下：‎ 由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．‎ ‎△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，．‎ 若•=0，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 得，即，‎ 化简得，7m2=12+12k2，将代入3+4k2＞m2中，得，解得．‎ 又由7m2=12+12k2≥12，得，即或．‎ ‎∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．‎ ‎　‎ ‎22．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）试判断圆C与x轴的位置关系；‎ ‎（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得pD的值；‎ ‎（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；‎ ‎（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．‎ 法二、由（2）中求出的P，Q的坐标求出PQ的中点坐标，得到以PQ为直径的圆的方程，利用方程对于任意实数k恒成立，系数为0列式求解x，y的值，从而得到顶点M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）利用抛物线的定义得，‎ 故线段FA的中点的坐标为，代入方程y2=2px，‎ 得，解得p=1；‎ ‎（2）由（1）得抛物线的方程为y2=2x，从而抛物线的准线方程为，‎ 由，得方程，‎ 由直线与抛物线相切，得，‎ 且，从而，即，‎ 由，解得，‎ ‎∴PQ的中点C的坐标为．‎ 圆心C到x轴距离，，‎ ‎∵=‎ ‎∵k≠0，‎ ‎∴当时，，圆C与x轴相切，‎ 当时，，圆C与x轴相交；‎ ‎（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，‎ 设点M坐标为M（x1，0），‎ 由（2）知，，，‎ ‎∴．‎ 由得，．‎ ‎∴，即或．‎ ‎∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．‎ 证法二、由（2）知，，PQ的中点C的坐标为.．‎ ‎∴圆C的方程为．‎ 整理得．‎ 上式对任意k≠0均成立，‎ 当且仅当，解得．‎ ‎∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．‎ ‎　‎ ‎2017年1月30日