高三数学同步辅导教材(第15讲)

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高三数学总复习教程（第 15 讲） 平面向量及其运算 一、本讲进度：向量的概念、向量的表示、向量的相等、向量的加、减的坐标运算和几何运 算，共线向量平面向量基本定理。 二、学习内容 向量有两要素：方向及大小（亦即摸长），特别地规定模长为零的向量为零向量，它的 方向不定，与任何向量共线，向量可以用字母表示（AB、a 、o 等）。可用坐标（x,y）表示， 也可用有向线段表示。值得指出的是，向量不同于有向线段。有向线段有大小，有方向，有 起点，面向量有大小、有方向，但与起点无关。例如；若 O(0,0) ,A(1,1) B(1,0) C(2,1) OA 与 BC 是两个不同的有向线段，可以通过平移使它们重合，但它们却是同一个向量，从这个意 义上说，向量谈不上平移，也无须平移。 任意两个不共线的向量都可构成基底，对平面内的任一向量，都可用这一对基底哆一点 表示，当这一对基底是互相垂直的单位向量时，就是所谓的“坐标表示”，当向量用以原点 为始点的有向线段表示时，终点的坐标与这向量的坐标是一致的。 两向量的和、差、数平的坐标运算法则及几何意义要深刻了解。 向量 与非量向量b  共线的充要条件是 =入b  （入 R ）， A、B、C 三是共线的充要 条件是 OC =nOA + nOB 且 m+n=1（O 为平方内任意一点）。 三、典型例题讲评 例 1．非零向量 1l  与 2l  不共线，若 AB =2 +3 , BC =6 +23 ,CD=4 -8 ，则 A、B、D 三点共线 要证 A、B、D 三点共线，只要看，是否存在实数入，使 AB=入 BD，故应先求 BD。 （BD=BC+CD） 也可先求 CA=-(AB+BC)=-8 -26 CB=6 -23 设-8 -26 =m(-6 -23 )+n(4 -8 ) 求得 m= 5 6 、n= 5 1 。 ∵m+n=1 ∴A、B、D 共线 例 2．用向量的方法证明：三角形三中线交于一点，且此点与各顶点的距离等于相应中线长 的 3 2 。 向量知识是新内容，有些同学还不习惯，拿到题后觉得无从下手，这正是本讲内容的难点 所在。 设中线 AD 与 BE 交于 G，AG = AD 则 AG= （AB+AC）/2= 2  AB + 2  AC 又 AE= 2 1 AC ∴AG= AB+ AE 由 E、G、B 共线，知 +  =1，  = 3 2 同理可证 BG= BE 等，故三中线共点，且交点列三顶点距离是相应中线的 。 例 3．已知三点：A(2,1),B(3,4)，C(1,4) ，P 为平面内一点是 PA +PB+PC =O 求 P 点坐标。 设 P（x,y）写出 PA，PB，PC 的坐标表示，再依据向量相等的条件，列方程组解出即可。 例 4．在四边形 ABCD 中，E，F 分别为对角线 AC、BD 的中点，记 AB= a ，BC=b  ，CD=c 。 求 EF（用 、 、 表示） 向量的加法遵循平行四边形法则，故若 AD 为△ABC 的中线，则 AD= （AB+BC），本题 中有两个中点，设法把它们逐次化为中线问题，即可解得。 我们也可连结 CF 并延长一倍到 G，∵ BD、CG 互相平分，BCDG 为平行四边形，BG=CD= ， 在△AGC 中，EF 为中位线，∴EF= AG+ （AB+BG）= （ + ） 例 5．把抛物线 y=-x2 按向量 平移后与抛物线 y=x2-x-2 的两个交点关于坐标原点对称，求 。 设出 =(m,n)写出平移后的抛物线方程与抛物线 y= x2-x-2 联点，利用“关于原点对称”      0 0 21 21 yy xx ，解出 m,n 但求出后，必须验明此时两面曲线相交（即相应二次方程二 判别式＞0） 例 6．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD= 3 1 BC，设 BA= , BC= ，试以 ， 为 基底表示 BF、DF、CD 寻找需表示的向量与基底间直接或间接的关系，熟悉向量的和、差、数积的几何意义，是解 这一类题所要求的素养。 例 7．已知向量u =（x,y）与向量v =(y,zy-x)的对应关系记作 v =f( ) （1） 求证：对于任意向量 、 及常数 m,n 恒有 f(m +n )=mf( )+nf( ) （2） 若 =(1,1) , =(1,0) 用坐标表示 f( )和 f( ) （3） 求使 f( )=(p、q) (p、q 为常数)的向量 的坐标。 本题出现了“向量函数” v =f(u )，这是我们所陌生的，故做题之前，先克服因陌生而产生 的情意，弄清 f( )的含义，定义 f( )时使用了向量的坐标，故应先把 a 、b  用坐标表示出 来，按定义代入，看左、右所得向量的坐标表示是否相同。（因 =(x1·y1), b  =（x2·y2） 则 =      21 21 yy xx 做了第一小题后，（2）（ 3）两小题就显得很简单了 例 8．已知点 O（0,0）A(1,2) B（4，5）OP=OA +tAB（tR） (1) 要使 P 点在 x 轴、y 轴、第二象限 t 分别应取什么值？ (2) 四边形 OABP 是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的 t 的值，如不可能说明理 由。 设 p(x,y)∵OA+tAB=OA+t（OB-OA）=（1-t）OA+tOB=（1-t+4t，2（1-t）+5t）=（1+3t， 2+3t），可知      ty tx 32 31 再要据题中要求，求出相应 t 值即可。 在第（2）小题中，OABP 为平行四边形  OB=OA+OP，列出方程组，有解，则 t 已求出， 无解，则证明不可能。 例 9．已知正方形 ABCD 过 B 作直线 BE∥AC，E 是在 BE 上，且 CE=AC，直线 CE 交直线 AB 于 F，用向量证明：AF=AE 正方形为我们建立直角坐标系，用坐标表示向量提供了很好的条件，已知和求证中的线段相 等与相应向量的模长相等是等价的，而平行或共线可用向量共线的条件来替代，由此题，我 们可以体会向量与解析几何之间的密切关系。 例 10．已知 A（0，8）， B（-4，0）C（5，-3）点 D 分 AB 为 3 1 ，E 点在 BC 上，使△ABC 面积的一半，求 E 点坐标。 由 D 分 AB 为 1∶3 知 B 分 DA 为-3∶4 又△BDE 面积少成多为△ABC 面积的一半，故 2 1 4 3  BC BE 知 3 2BC BE ，E 分 BC 为 2∶1， 由定比分点公式即可求出 E 点坐标。 四、巩固练习 1． 已知点 P（2，3）分 P1P2 为  ，其中 P1（4,y）P2(x,1)又知|P1P|=4 2 ，求 x，y 及  的 值。 2． ABC 的三顶点分别为 A(1,2) B(2,3) C(3,1) 把△ABC 按向量 a =（m,n）平移，得到 △ CBA  ，若△ 的重心为 G’（3，3），求 的坐标及 。 3． 已知| |=10，b  =（3，-4） // ，求 。 4． 在正六边形 ABCDEF 中，记 AB= ，BC= ，试用 ， 表示 CD. CE 5． 已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（ 5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的 坐标。 ①内② 7 6． a 与b  为两个不共线的向量，AB=2 +k ，CB= +3 ，CD=2 - ，若 AB//BD 求 k 的值。 7． 在△OAB 中，记 OA= ，OB= ，M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM= ，ON=  （ )1,0(,  ），记 AN 与 BN 的交点为 P，试用 与 表示OP 。 8． 已知四点 A（-3，12）B（3，-4）， C（5，-4）D（5，8）求 AC 与 BD 的交点 P 的坐 标，并求直线 AC 分 BD 所得的此入及 P 分 BD 所得的此  。 9． △OAB 中，4OC=OA= ，2OD=OB= ，AD 与 BC 的交点为 M。 （1） 用 、 表示 OM； （2） 过 M 点作直线与 OA、OB 边分别交于 E、F 点，若 OE=P ·OF=q ，求证： qp 7 3 7 1  =1 10．△ABC 中 A（-3，7）B（2，5），又知 AC 边中点在 x 轴上，BC 边中点在 y 轴上，求 顶点 C 的坐标及△ABC 的重心 G 的坐标。 五、参考答案 1．∵|p1p|=△ 2 ∴(4-2)2+(y-3)2=32 y=3±2 7 又 P 分 P1P2 为 ∴              13 1 42 y x ∴ 77 22 x 723y 7 或 77 22 x 723y 7 2．设△ABC 的重心为 G，G（x,y）则 x= 2)321(3 1  y= 2)132(3 1  ∴G(2,2) ②代入① x=2 7 3 ① ② 样 a =GG’=(3-2,3-2)=(1,1) ∴ A (0,1) )2,1(B )0,2(C 3．∵ ∥b  故可设 =（3k,-4k）( Rk  ) ∵| |=10 ∴9k2+16k2=100 k=±2 ∴ =(6,-8)或（-6,8） 4．CD=CB+BA+AD= b   abba   2 CE=CD+DE=( ab   )+(- a )= ab  2 5．记 A(3,-2) B(5,2) C(-1,4) (1) 若为平行四边形 ABCD，则 AC 中点（亦即平行四边形对角线交点）为(1,1) 则 D(2-5,2-2) 即（-3,0） (2) 若为平行四边形 ABCD，则 BC 中点（亦即平行四边形对角线交点）为（2,3）则 D(4-3,6+2) 即(1,8) (3) 若为平行四边形 ADBC，则 AB 中点(亦即平行四边形对角线交点)为(4,0)则 D(8+1,0-4) 即（9,-4） 6．BD=CD-CB=（2 ba   ）-（ ba  3 ）= ba  4 又 AB//BD ∴        4 2)4(2 kbabka  ∴k=-8 7．设 OP=m mbnambna    OA+  n ON ∵N、P、A 共线 ∴ 1  nm ① 同样 OP=  mbnam   OM+nOB 而 B、P、M 共线 ∴ 1 nm  ② 由①②可解得               1 )1( 1 )1( n m ∴OP= ba         1 )1( 1 )1( 8．设 P(x,y)由定此化分点上式                     1 412 1 84 1 53 1 53 y x ①两边减 5，可得 )1(41    43 代入② )1(4 )]43(3[4 1 84        3 1 从而 3 13 2 7 3 11 3 53    x 1 3 11 3 84    y p( 1,2 7  ) 9．（ 1）设 OM = ODnOAmbnambnam 222    ∵D、M、A 共线， ∴m+2n=1① 又 =4m OBnOCmbna  44  ∵B、M、C 共线 ∴4m+n=1② 由①、②解得 7 1m 7 3n ∴ baOM  7 3 7 1  （2）由（1） = OFq7 3OEq7 1)bq(q7 3)ap(p7 1b7 3a7 1   ∵E、M、F 共线 ∴ 1q7 3 p7 1  10．记 AC 边中点 M(M,O) BC 边中点 n(O,N)C(X,Y)由中点公式： 02 2x  02 7y  ∴C(-2,-7) 重心 G：x= 13 223  Y= 3 5 3 757  ∴G(-1, 3 5 ) 六、附录 例1． BD=BC+CD=(6 21 l23l   )+(4 21 l8l   )=10 21 l15l   =5(2 21 l3l   )=5 AB ∴A、B、D 三点共线 例2． 记两中线 AD、BE 交点为 G，记 AEAB22 ACABADAG   ∵ E 、 G 、B 共线 ∴ 12   3 2 同 理 可 证 BE3 2BG  CF3 2CG  ∴原命题是真命题 例 3．设 P（X,Y）则 )1y,2x(PA  )4y,3x(PB  )4y,1x(PC  ∴ )9y3,6x3(PCPBPA  令      09y3 06x3 解得      3y 2x ∴P (2,3) 例 4． ∵F 为 BD 中点 ∴ )BEDE(2 1)EBED(2 1EF  而 E 为 AC 中点 ∴ )abc2(2 1]DCBACBDC[2 1)DCDA(2 1DE   )ba(2 1)BCBA(2 1BE   ∴ )ca(2 1)baabc2(4 1EF   例 5．设 )n,m(a  y 2xxy )mx(ny 2 2 消去      2X2-(2M+1)X+M2-N-2=0 令 2M+1=0 M=- 2 1 此时原方程组即      2xxy 4 1xxny 2 2 两式相加，有 2Y-N=-2X- 4 9 (X1,Y2),(X2,Y2)都满足此式， 代入后相加，2(Y1+Y2)-2N=-2(X1+X2)- 2 9 ∵x1+x2 与 Y1+Y2 均为 0，∴ 2 9n2  4 9n 此 式方程≯之判别式△=(2M+1)2-8(M2-N-2)=0-8( 24 9 4 1  )=32＞0 ∴ )4 9,2 1(a  例 6． abbabBFABEAEF   3 1 2 1 6 1 ababbEFDEDF   6 1)3 1(6 1 ababbFDCFCD   3 2)6 1(2 1 例 7．（ 1）证：设 ),( 11 yxa  ),( 22 yxb  则 ),( 2121 nymynxmxbnam   ∴ )]()(2,[)( 212121 nxmxnymynymybnamf   而 )]()(2,[ ]2()(2))[( )2()2( )2,()2,()()( 212121 221121 222111 222111 nxmxnymynymy nxnymxmynymy nxnynymxmymy xyynxyymbnfamf      ∴ )()()( bnfamfbnamf   (2)f( a )=(1,2-1)=(1,1) f(b  )=(0,0-1)=(0,-1) (3)设 ),( yxc  则 f( c )=(y,2y-x) 令      qxy py 2 解得      py qpx 2 ∴ ),2( pqpc  例 8．（ 1）设 P（x,y） 则 ),( yxOP  OBtOAtOAOBtOAABtOA  )1()( =(1-t)(1,2)+t(4,5)=(1+3t,2+3t) 要使 P 点在 x 轴上，须 y=2+3t=0 t= - 3 2 要使 P 点在 y 轴上，须 x=1+3t=0 t= - 3 1 要使 P 点在第二象限，须      032 031 ty tx t∈（- 3 1,3 2  ） （2）要使 OABP 是平行四边形 应使 OPOAOB  即（4，5）=（1，2）+（1+3t,2+3t）              3 1 3 2 345 324 t t t t ∴t∈Ф △ ABP 不可能是平行四边形 例 9．分别以 CD、AD 两边所在直线为 x,y 轴，以正方形边长为单位长建立直角坐标系，则 D(0,0) C(1,0) A(0,1) B(1,1) 设 E(m,n) 则 )1,1(  nmBE )1,1( AC ),1( nmCE  1 1 1 1//   nmACBE 2)1( 22  nmACCE 解得                 2 31 2 33 2 31 2 33 n m n m 或 设 F(f ,-1) 则 )1,1(  fCF CECF与 共线 故 11 1 n f m   ∴f= 13  或— 13  )2 31,2 33()2 13,2 33(  或AE )0,13()0,13(  或AF ∵ 222 22 )13(]4 1)2 3[()13(2 13 2 33              222 22 )31(]4 1)2 3[()31(2 31 2 33              ∴ AFAE  即 AE=AF 例 10．由已知 3 1DB AD 即 4 3BA BD 设 E 分 BC 为 则有 2 1 4 3  3 2 设 E(x,y)                    5 6 3 21 )3(3 20 5 2 3 21 53 24 y x ∴ )5 6,5 2( E