2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若抛物线的准线的方程是，则实数的值是（ ）‎ A． B． C．8 D． ‎ ‎2. 不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7℃，已知山顶的气温是14.1℃，山脚的气温是26℃.那么，此山相对于山脚的高度是（ ）‎ A．‎1500米 B．‎1600米 C．‎1700米 D．‎‎1800米 ‎4. 等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（ ）‎ A．50 B．‎75 C．100 D．125‎ ‎5. 满足的恰有一个，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎6. 已知等比数列中，，，则的值为（ ）‎ A．2 B．‎4 C．8 D．16‎ ‎7. 设满足约束条件且的最小值为7，则（ ）‎ A． B．‎3 C．或3 D．5或 ‎ ‎8. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左、右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.‎ 若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 钝角三角形的三边为，其最大角不超过，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 已知四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A．21 B．‎25 C．26 D．36‎ ‎11. 已知为抛物线上一个动点，直线，则到直线的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B．‎4 C． D． ‎ ‎12. 已知等差数列有无穷项，且每一项均为自然数，若75，99，235为中的项，则下列自然数中一定是中的项的是（ ）‎ A．2017 B．‎2019 C．2021 D．2023‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若等差数列满足，则当 时的前项和最大．‎ ‎14. 在中，内角所对应的边分别为，已知，若，则的值为 ．‎ ‎15. 是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 ．‎ ‎16. ，为两个定点，是的一条切线，若过两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹方程是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）求对称轴是轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程； ‎ ‎（2）过抛物线焦点的直线它交于两点，求弦的中点的轨迹方程.‎ ‎18. 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎19. 若数列的首项为1，且.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若，求证：数列的前项和.‎ ‎20. 已知数列中，.‎ ‎（1）求证：数列与都是等比数列；‎ ‎（2）若数列的前项和为.令，求数列的最大项.‎ ‎21. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）直线与交于两点，与圆交于两点，求的值.‎ ‎22. 已知点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，满足直线与直线关于直线对称.‎ ‎（1）证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；‎ ‎（2）求的面积最大时直线的方程.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BDCBB 6-10: ABABB 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 8 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）对称轴是轴则顶点在焦点在轴 所以，则，，‎ ‎.‎ ‎（2）由题知抛物线焦点为，‎ 当直线的斜率存在时，设为，则焦点弦方程为，‎ 代入抛物线方程得所以，由题意知斜率不等于0，‎ 方程是一个一元二次方程，由韦达定理：‎ 所以中点坐标：‎ 代入直线方程 中点纵坐标；‎ 即中点为 消参数，得其方程为 当直线的斜率不存在时，直线的中点是，符合题意，‎ 综上所述，答案为.‎ ‎18.解：（1）在中，∵，∴整理可得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，可得：.‎ ‎（2）由（1），根据余弦定理可得：‎ ‎，∴解得：，‎ ‎∴，当且仅当时，，故的最大值为6.‎ ‎19.解：（1）由得，‎ ‎∴，，∴，，‎ ‎∴是首项为公比为的等比数列 ‎（2）由（1）知，∴‎ ‎（3）∵‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎ ∴.‎ ‎20.（1）证明：数列中，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 数列是以为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎（2）解：由（1）得 ‎.‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎21.解：（1）如图所示，设动圆和定圆内切于点.动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，‎ 即，‎ ‎∴点的轨迹是以为两焦点，半长轴为2，半短轴长为的椭圆：.‎ ‎（2）将代入得，，‎ 所以，又由垂径定理得，‎ ‎，所以.‎ ‎22.解：（1）设直线方程为：，代入得 设，因为点在椭圆上，所以 又由题知，直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ‎，‎ 所以直线的斜率 即直线的斜率为定值，其值为.‎ ‎（2）由（1）可设直线方程为：，代入得 ‎，则.由可得.‎ ‎，到直线的距离，‎ 可得，‎ 当且仅当（满足），即时取等，此时直线的方程为：，或.‎