甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

‎2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导数，然后代值计算可得出的值.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（　　）‎ A. ５ B. ‎３ ‎C. ２ D. １‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：由题意a=3,P点到右焦点的距离为‎2a-5=1‎ ‎3.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　）‎ A. 虚轴长为4 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程求得的值，由此求得虚轴、焦距、离心率和渐近线方程，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】双曲线的方程为，，可得虚轴长为6‎ ‎，实轴长为4，离心率，渐近线方程为：，即．所以ABC选项错误，D选项正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据双曲线方程求，考查双曲线虚轴、焦距、离心率和渐近线方程的求法，属于基础题.‎ ‎4.设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）‎ A. x=为f(x)的极大值点 B. x=为f(x)的极小值点 C. x=2为 f(x)的极大值点 D. x=2为 f(x)的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】，‎ 由得，‎ 又函数定义域为，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 因此是函数的极小值点．故选D．‎ 考点：函数极值．‎ ‎5.下列有关命题的说法中错误的是（ ）‎ A. 若为假命题,则p、q均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若,则“的逆否命题为：“若,则”‎ D. 对于命题p：,使得,则：,均有 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的真假,充分与必要条件的关系以及命题之间的关系,特称命题的否定为全称命题等逐一判断即可.‎ ‎【详解】本选择题可以逐一判断,显然对于A选项为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可．‎ 对于B项,可得,反之无法推出,所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 对于C项条件,结论否定且互换,正确.‎ 特称命题的否定是全称命题 ,可知D判断正确．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断问题,充要条件,命题的否定,全称命题以及特称命题的概念．‎ ‎6.若变量、满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数可得答案.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ ‎ ‎ 化目标函数为，由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用数形结合思想得到最优解，代入目标函数求解即可，考查数形结合思想的应用，属于基础题.‎ ‎7.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．‎ ‎8.以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　 　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，‎ 设所求抛物线方程为：，‎ 因为其以为焦点，所以，因此；‎ 故抛物线方程：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.‎ ‎9.已知函数在是单调增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出 ‎，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，由题意知，对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，并借助参变量分离法求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．‎ 解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b 又因为在x=1处有极值 ‎∴a+b=6‎ ‎∵a＞0，b＞0‎ ‎∴‎ 当且仅当a=b=3时取等号 所以ab的最大值等于9‎ 故选D 点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．‎ ‎11.某药厂为了了解某新药的销售情况，将年至月份的销售额整理如下：‎ 月份 销售额（万元）‎ 根据至月份的数据可求得每月的销售关于月份的线性回归方程为（ ）‎ ‎（参考公式及数据：，，，）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数据代入最小二乘法公式，求出和的值，即可得出关于的回归直线方程.‎ ‎【详解】由表格中的数据得，，‎ ‎，，‎ 因此，关于的回归直线方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，熟练利用最小二乘法公式计算是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，即，得，‎ 令，其中，，令，得，列表如下：‎ 极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 所以，函数的最小值为，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式能成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值是一种常见的解法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，作垂直抛物线的准线于，则，由抛物线的定义得点到该抛物线焦点的距离．‎ 考点：考查抛物线的定义及其几何性质．‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，‎ 所以所以．‎ ‎【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．‎ ‎15.已知下列命题：‎ ‎①在线性回归模型中，相关指数越接近于1，表示回归效果越好；‎ ‎②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；‎ ‎④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.‎ ‎⑤回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；‎ ‎⑥若的观测值满足≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；‎ ‎⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①③④⑦‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归分析的概念进行分析即可．‎ ‎【详解】在线性回归模型中，相关指数越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，⑤错误；若的观测值满足≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确．‎ 故答案为①③④⑦.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题．‎ ‎16.若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____．‎ ‎【答案】a＝3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.‎ ‎【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,‎ ‎∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,‎ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，‎ f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；‎ ‎②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，‎ ‎∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，‎ 又f（x）只有一个零点,‎ ‎∴f（）1＝0，解得a＝3．‎ 故答案为：a＝3‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列为等差数列，公差，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，.‎ 又，，，，，‎ ‎.故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可知， ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得，‎ 由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前项和.‎ ‎18.某班随机抽查了名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中组学生每天学习数学时间不足个小时，组学生每天学习数学时间达到一个小时，学校规定分及分以上记为优秀，分及分以上记为达标，分以下记为未达标.‎ ‎ ‎ ‎（1）根据茎叶图完成下面的列联表：‎ 达标 未达标 总计 组 组 总计 ‎（2）判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.‎ 参考公式与临界值表：，其中.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）没有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据可补充列联表中的数据；‎ ‎（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 达标 未达标 总计 组 组 总计 ‎（2）由公式，而，‎ 所以，没有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，考查学生处理数据的能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数，在点处的切线方程为，求：‎ 实数a，b的值；             ‎ 函数的单调区间以及在区间上的最值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出 的值 求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解区间上的函数的最值 ‎【详解】（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y-10=0，‎ 所以切线斜率是k=-3且9×1+‎3f（1）-10=0，‎ 求得，即点 又函数，则f′（x）=x2-a 所以依题意得-‎ 解得 ‎（2）由（1）知 ‎ 所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）‎ 令f′（x）=0，解得x=2或x=-2 ‎ 当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜-2；当f′（x）＜0⇒-2＜x＜2 ‎ 所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞）‎ 单调递减区间是（-2，2）‎ 又x∈[0，3] ‎ 所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表： ‎ X ‎0‎ ‎（0，2）‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ f′（x）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎1‎ 所以当x∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，‎ ‎-‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值的求法，考查了转化思想和计算能力，较为基础．‎ ‎20.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则 ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设， ‎ 联立得：‎ ‎，解得：‎ ‎，‎ 又点到直线的距离为：‎ ‎，解得：‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于都有成立，试求取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出导数，分别解不等式和可分别得出函数的单调增区间和减区间；‎ ‎（2）由题意可得出，利用导数求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，.‎ 解不等式，得；解不等式，得.‎ 所以，函数的单调增区间是，单调减区间是；‎ ‎（2），，.‎ 令，得；令，得.‎ 所以，函数在处取得最小值，即，‎ 由，得，即，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎