2019-2020学年山东省淄博市淄川中学高二上学期期中考试数学试题 word版

2019-2020学年山东省淄博市淄川中学高二上学期期中考试数学试题 word版

山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷 考试范围：数列、不等式；圆锥曲线；部分空间向量；考试时间：120分钟 第I卷（选择题52分)‎ 一、单选题(共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则＞ B．若a＜b，则am2＜bm2 ‎ C．若＜，则a＞b D．若a3＞b3，则a＞b ‎2．等差数列中， ，则的值为 ( )‎ A．14 B．‎17 ‎C．19 D．21‎ ‎3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（　　）‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x ‎4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（　　）‎ A．﹣++ B．﹣+‎ C．+﹣ D．+﹣‎ ‎5．在等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．±1 D．2‎ ‎6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．16 D．32‎ ‎7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（　　）‎ A．8 B． C．16 D．‎ ‎8．设数列的通项公式为，则（ ）‎ A．153 B．‎210 ‎C．135 D．120‎ ‎9．已知m+n＝4，其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（　　）‎ A．9 B．‎4 ‎C． D．‎ ‎10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（　　）‎ A．108里 B．96里 C．64里 D．48里 二、多选题(共3小题,每小题4分,共12分)‎ ‎11．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ab＞0，则≥2 ‎ C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则 ‎12．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D.与均为的最大值 ‎13．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是 （　　）‎ A．＝2 B．e1•e2＝ ‎ C．e＝ D．e＝1‎ 第II卷（非选择题98分)‎ 三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)‎ ‎14．函数y＝x+（x<3）的最大值为　 　．‎ ‎15．已知平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝‎ ‎∠DAA1＝60°，则AC1＝　 　．‎ ‎16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝　 　，＝　 　．‎ ‎17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为　 　．‎ 四、解答题(共6小题,共82分)‎ ‎18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．‎ ‎19．（14分）已知等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝‎5a3﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．‎ ‎20．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．‎ ‎21．（14分）已知数列{an}为等差数列，a3＝5，S4＝16．‎ ‎（1）求数列{an}的公差d和通项公式an；‎ ‎（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎22．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n+1﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn＝（2n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎23．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则＞ B．若a＜b，则am2＜bm2 ‎ C．若＜，则a＞b D．若a3＞b3，则a＞b ‎【解答】解： A．a＞b得不出，比如，a＝4，b＝﹣2时；‎ B．m＝0时，a＜b得不出am2＜bm2；‎ C.得不出a＞b，比如，a＝﹣2，b＝4；‎ D．∵y＝x3是增函数，∴a3＞b3得出a＞b．‎ 故选：D．‎ ‎2．等差数列{an}中，a3＝5，a4+a8＝22，则a9的值为（　　）‎ A．14 B．‎17 ‎C．19 D．21‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8＝22，得‎2a6＝22，‎ 又a3＝5，由等差数列的性质可得：a9＝‎2a6﹣a3＝22﹣5＝17．‎ 故选：B．‎ ‎3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（　　）‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x ‎【解答】解：∵双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，即 ，‎ 故选：A．‎ ‎4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（　　）‎ A．﹣++ B．﹣+ ‎ C．+﹣ D．+﹣‎ ‎【解答】解：＝，‎ ‎＝+﹣+，‎ ‎＝++﹣，‎ ‎＝﹣++，‎ ‎∵＝，＝，＝，‎ ‎∴＝﹣++，‎ 故选：A．‎ ‎5．在等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．±1 D．2‎ ‎【解答】解：等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，则a33＝8，则a3＝2，‎ ‎∵a7＝32，‎ ‎∴q4＝＝16，‎ 解得q＝±2，‎ ‎∴a2＝±1，‎ 故选：C．‎ ‎6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为 ‎．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．16 D．32‎ ‎【解答】解：∵＝＝1﹣＝，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，‎ ‎△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝‎4a＝16．‎ 故选：C．‎ ‎7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（　　）‎ A．8 B． C．16 D．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），‎ ‎∴，整理得3x2﹣10x+3＝0，‎ 由韦达定理可知x1+x2＝，‎ 由抛物线的定义可知：|AB|＝p+x1+x2＝2+，‎ 故选：D．‎ ‎8．设数列的通项公式为an＝2n﹣7，则|a1|+|a2|+…+|a15|＝（　　）‎ A．153 B．‎210 ‎C．135 D．120‎ ‎【解答】解：令an＝2n﹣7≥0，解得．‎ ‎∴从第4项开始大于0，‎ ‎∴|a1|+|a2|+…+|a15|＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a15＝5+3+1+1+3+…+（2×15﹣7）‎ ‎＝9+＝153．‎ 故选：A．‎ ‎9．已知m+n＝4其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（　　）‎ A．9 B．‎4 ‎C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣1，﹣1），‎ ‎∴将点（﹣1，﹣1）代入mx+ny+4＝0，得m+n＝4，‎ ‎∵m＞0，n＞0，‎ 则+＝（m+n）（）＝＝‎ 当且仅当且m+n＝4即n＝时取得最小值．‎ 故选：D．‎ ‎10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（　　）‎ A．108里 B．96里 C．64里 D．48里 ‎【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{an}，则数列{an}是以的为公比的等比数列，‎ 又由这个人走了6天后到达目的地，即S6＝189，则有S6＝＝189，‎ 解可得：a1＝96，‎ 故选：B．‎ ‎11．（4分）若a，b，c∈R，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ab＞0，则≥2 ‎ C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则 ‎【解答】解：对于选项A，当c＝0时，若a＞b，则ac2＝bc2，故A错误，‎ 对于选项B，因为ab＞0，所以，，所以≥2＝2，当且仅当，即a2＝b2时取等号，故B正确，‎ 对于选项C，因为a＞|b|，由不等式的性质可得：a2＞b2，显然选项C正确，‎ 对于选项D，取a＝1，b＝﹣1时，显然选项D错误，‎ 综上可知：选项BC正确，‎ 故选：BC．‎ ‎12．ABD【解析】，则，，则，则，，．，∴，‎ 由知是中的最大值．‎ 从而ABD均正确．‎ 故选ABD．‎ ‎13．（4分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是 （　　）‎ A．＝2 B．e1•e2＝ ‎ C．e＝ D．e＝1‎ ‎【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：﹣＝1（a1，b1＞0），半焦距为c．‎ ‎∵椭圆C1的上顶点为M，且＝0．‎ ‎∴∠F1MF2＝，‎ ‎∴b＝c，∴a2＝‎2c2．‎ ‎∴e1＝＝．‎ 不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．‎ ‎∴m+n＝‎2a，m﹣n＝‎2a1．‎ ‎∴mn＝＝a2﹣．‎ 在△PF‎1F2中，由余弦定理可得：‎4c2＝m2+n2﹣2mncos＝（m+n）2﹣3mn＝‎4a2﹣3（a2﹣）．‎ ‎∴‎4c2＝a2+3．‎ 两边同除以c2，得4＝+，解得：e2＝．‎ ‎∴e1•e2＝•＝．‎ 故选：BD．‎ 三、填空题：‎ ‎14．故答案为：1．‎ ‎15．已知平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝　　．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴＝+++2+2+2＝6，‎ ‎∴||＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝　8　，＝　　．‎ ‎【解答】解：A（2，）是椭圆＝1上一点，代入可得：＝1，解得m＝8．‎ ‎∴c＝＝2．‎ ‎∴F（2，0）．‎ ‎∴|AF|＝＝．‎ 点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．‎ 故答案为：8，．‎ ‎17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为　　．‎ ‎【解答】解：当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴双曲线的标准方程为；‎ 当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴双曲线的标准方程为 综上知，双曲线的标准方程为 故答案为：‎ 四、解答题(共6小题,共82分)‎ ‎18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，‎ ‎∴设其方程为，‎ ‎∵‎2a＝26，∴a＝13，又c＝12，则b2＝a2﹣c2＝25．‎ ‎∴所求椭圆方程为；‎ ‎（2）由7x2+3y2＝21，得．‎ 可得c2＝a2﹣b2＝4，即c＝2．‎ ‎∴所求椭圆焦点为（0，﹣2），（0，2），‎ 设椭圆方程为，‎ 由M（2，）在椭圆上，则‎2a＝＝．‎ ‎∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝8．‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎19．已知等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝‎5a3﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．‎ ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝‎5a3﹣1．‎ ‎∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，‎ 解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．‎ ‎（2）∵bn＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，‎ ‎∴b1+b2+…+b10‎ ‎＝（2+22+23+…+210）+2（1+2+3+…+10）﹣10×1‎ ‎＝+2×﹣10‎ ‎＝2046+110﹣10‎ ‎＝2146．‎ ‎20．已知正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．‎ ‎【解答】证明：（1）连结BD，∵M，N分别是棱BB1和DB1的中点，‎ ‎∴MN∥BD，‎ ‎∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴MN∥平面ABCD．‎ 解：（2）设正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的棱长为1，‎ 以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），‎ ‎∴M（1，1，），N（），＝（﹣1，0，1），＝（﹣，﹣，0），‎ ‎∴cos＜＞＝＝＝．‎ ‎∴＜＞＝，‎ ‎∴直线MN与直线CB1所成角的大小为．‎ ‎21．已知数列{an}为等差数列，a3＝5，S4＝16．‎ ‎（1）求数列{an}的公差d和通项公式an；‎ ‎（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}为等差数列，设公差为d，a3＝5，S4＝16．‎ 则：，‎ 解得：a1＝1，d＝2，‎ 则：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，‎ ‎（2）由于：an＝2n﹣1，‎ 所以：bn＝＝＝，‎ 所以：，‎ ‎＝，‎ ‎＝．‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n+1﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn＝（2n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）Sn＝2n+1﹣2，‎ 可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，‎ n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，‎ 上式对n＝1也成立，‎ 则数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；‎ ‎（2）cn＝（2n+1）an＝（2n+1）•2n，‎ 前n项和Tn＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，‎ ‎2Tn＝3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，‎ 相减可得﹣Tn＝6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1‎ ‎＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，‎ 化简可得Tn＝（2n﹣1）•2n+1+2．‎ ‎23．已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，‎ ‎∴a＝2b，设椭圆C的方程为：，‎ ‎∵椭圆C过点，‎ ‎∴，∴b＝1，a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．…（4分）‎ ‎（2）由题意知，|m|≥1．‎ 由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，‎ 由，得，‎ 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），‎ 则，…（6分）‎ 又∵l与圆x2+y2＝1相切，‎ ‎∴＝1，k2＝m2﹣1，‎ ‎∴|AB|＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ ‎∴，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∴当时，S△AOB的最大值为1．…（13分）‎ 高二数学期中考试答案11.11‎ 一、 单选题 （每题4分）1-5 DBAAC 6-10 CDADB ‎ 二、 多选题（每题4分，选不全的得2分；错选的得0分）‎ ‎11 BC 12.ABD 13. BD 三、填空题（每题4分，其中16题每空2分）‎ 14. ‎ 1 15.　 16. 　8　，　　 17. ‎ 四、解答题(共6小题,共82分)‎ ‎18．（12分）【解答】（1）椭圆方程为；（2）椭圆方程为．‎ ‎19．（14分）【解答】解：（1）∵等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝‎5a3﹣1．‎ ‎∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．‎ ‎（2）∵bn＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，∴b1+b2+…+b10‎ ‎＝（2+22+23+…+210）+2（1+2+3+…+10）﹣10×1＝+2×﹣10‎ ‎＝2046+110﹣10＝2146．‎ ‎20．（14分）【解答】证明：（1）连结BD，∵M，N分别是棱BB1和DB1的中点，‎ ‎∴MN∥BD，∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．‎ ‎（2）设正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的棱长为1，‎ 以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），‎ ‎∴M（1，1，），N（），＝（﹣1，0，1），＝（﹣，﹣，0），‎ ‎∴cos＜＞＝＝＝．‎ ‎∴＜＞＝，‎ ‎∴直线MN与直线CB1所成角的大小为．‎ ‎21．（14分）【解答】解：（1）数列{an}为等差数列，设公差为d，a3＝5，S4＝16．‎ 则：，解得：a1＝1，d＝2，则：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，‎ ‎（2）由于：an＝2n﹣1，‎ 所以：bn＝＝＝，‎ 所以：＝＝．‎ ‎22．（14分）【解答】解：（1）Sn＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，‎ n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，上式对n＝1也成立，‎ 则数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；‎ ‎（2）cn＝（2n+1）an＝（2n+1）•2n，‎ 前n项和Tn＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，‎ ‎2Tn＝3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，‎ 相减可得﹣Tn＝6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1‎ ‎＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，化简可得Tn＝（2n﹣1）•2n+1+2．‎ ‎23．（14分）【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，‎ ‎∴a＝2b，设椭圆C的方程为：，∵椭圆C过点，‎ ‎∴，∴b＝1，a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．…（4分）‎ ‎（2）由题意知，|m|≥1．‎ 由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，‎ 由，得，‎ 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），‎ 则，…（6分）‎ 又∵l与圆x2+y2＝1相切，∴＝1，k2＝m2﹣1，‎ ‎∴|AB|＝‎ ‎＝＝，‎ ‎∴，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∴当时，S△AOB的最大值为1．…（13分）‎ 日期：2019/11/7 11:51:30；用户：白水；邮箱：zqh9212@163.com；学号：5628875‎