2017-2018学年江苏省田家炳中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

2017-2018学年江苏省田家炳中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

‎2017-2018学年江苏省田家炳中学高二下学期期中考试数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.复数i(1+i)的实部为　　　　. ‎ ‎2.抛物线y2=ax的准线方程为　　　　. ‎ ‎3.已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a=　　　　. ‎ ‎4．将参加数学夏令营的100名学生编号为001，002，…，100，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为____.‎ a←1‎ b←2‎ I←2‎ While I≤6‎ ‎ a←a+b b←a+b I←I+2‎ End While Print b ‎5．如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是___▲___.‎ ‎6. 双曲线的渐近线的方程是_____________‎ ‎7.不等式≥2的解集为　　　　‎ ‎8．（文）命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ‎（理）设随机变量X的概率分布如下表所示，且E（X）=2．5，则a= ．‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ a b ‎9.（文）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取两件，则两件中有一件是次品的概率 ．‎ ‎（理）现有5名男生、2名女生站成一排照相,两女生要在两端，有 种不同的站法．‎ ‎10.已知变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是_________‎ ‎11.已知p是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是 ‎ ‎12. 设复数满足条件那么|+i|的最大值是________．‎ ‎13．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．‎ ‎14．已知函数,若对任意，存在，使，则实数取值范围是 ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本题满分14分)实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是：‎ ‎(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?‎ ‎16.（文） (本题满分14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”，命题q：“方程是焦点在x轴上的椭圆”，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎16. （理）（本题满分14分）‎ ‎（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，则等于多少？‎ ‎（2）的展开式偶数项的二项式系数之和为，则求展开式中二项式系数最大的项 ‎ ‎17. (本题满分15分)已知双曲线的顶点为,离心率为． ‎ ‎（1）求双曲线的标准方程； （2）已知直线是过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，若直线和双曲线的渐近线相交于两点，求的面积（为原点）．‎ ‎18．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，‎ ‎(1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?‎ ‎(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；‎ ‎(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。‎ ‎ ‎ ‎19.（文）（本题满分16分）‎ 已知是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求时，的解析式；‎ ‎（2）问是否存在这样的非负数，当时，的值域为？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎19.（理）(本题满分16分)某大学开设甲乙丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。已知某学生只选修甲的概率是0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的门数的乘积。‎ ‎（1）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；‎ ‎（2）求的分布列和数学期望． ‎ ‎20. (本题满分16分)已知函数为奇函数，且在处取得极大值2。‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）记，求函数的单调区间。‎ 答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.复数i(1+i)的实部为　　　　. -1‎ ‎2.抛物线y2=ax的准线方程为　　　　.x=-‎ ‎3.已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a=　　1　　. ‎ ‎4．将参加数学夏令营的100名学生编号为001，002，…，100，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为__▲8__.‎ a←1‎ b←2‎ I←2‎ While I≤6‎ ‎ a←a+b b←a+b I←I+2‎ End While Print b ‎5．如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是___▲_34__.‎ ‎6. 双曲线的渐近线的方程是________________‎ ‎7.不等式≥2的解集为　　　　.[-1，0)‎ ‎8．（文）命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ‎（理）设随机变量X的概率分布如下表所示，且E（X）=2．5，则a= ．‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ a b ‎9.（文）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取两件，则两件中有一件是次品的概率 ．‎ ‎（理）现有5名男生、2名女生站成一排照相,两女生要在两端，有 240 种不同的站法．[来 ‎10.已知变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是_________‎ ‎[-4,2]‎ ‎11.已知p是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是 ．‎ ‎12. 设复数满足条件那么|+i|的最大值是__4_______．‎ ‎13．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．‎ ‎14．已知函数,若对任意，存在 ‎，使，则实数取值范围是 ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本题满分14分)实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是：‎ ‎(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?‎ ‎【解答】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.‎ 由m∈R，可知z的实部为m2+5m+6，虚部为m2-2m-15.‎ ‎(1)要使z为实数，必有所以m=5或m=-3.‎ ‎(2)要使z为虚数，必有m2-2m-15≠0，所以m≠5且m≠-3.‎ ‎(3)要使z为纯虚数，必有 即所以m=-2.‎ ‎16.（文） (本题满分14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”，命题q：“方程是焦点在x轴上的椭圆”，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．‎ 解：p真： ∀x∈[1,2]，x2≥m, 又1≤x2≤4 ∴m≤1 ---------------4分 由题意知p真q假，或p假q真 -------------------9分 当p真q假时，得 ----------------------12分 当p假q真时， 无解，舍去 ----------------------14分 综上得 ----------------------15‎ ‎16. （理）（本题满分14分）‎ ‎（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，则等于多少？‎ ‎（2）的展开式偶数项的二项式系数之和为，则求展开式中二项式系数最大的项 ‎ 解：（1）由已知得……6分 ‎（2）由已知得，……10分 而展开式中二项式系数最大项是 ……15分 ‎17. (本题满分15分)已知双曲线的顶点为,离心率为． ‎ ‎（1）求双曲线的标准方程； （2）已知直线是过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，若直线和双曲线的渐近线相交于两点，求的面积（为原点）．‎ 解：（1）依题意，，，∴，，双曲线C的标准方程为．‎ ‎ ------7分 ‎（2）双曲线C右焦点为，双曲线C的渐近线方程为，‎ ‎∴，的面积 --------------7分 ‎18．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，‎ ‎(1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?‎ ‎(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；‎ ‎(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。‎ ‎ 解：（1）设米，，则 ‎∵ ∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴或 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ 此时 ‎ ‎（3）∵令， ‎ ‎∵,当时，∴在上递增 ‎ ‎∴此时 ‎ ‎ 答：（1）或 ‎ （2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；‎ ‎ （3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，最小面积为27平方米。 ‎ ‎19.（文）（本题满分16分）‎ 已知是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求时，的解析式；‎ ‎（2）问是否存在这样的非负数，当时，的值域为？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. ‎ 解：（1）设，则，于是，‎ 又为奇函数，即时，………………3分 ‎（3）假设存在这样的数.‎ ‎∵，且在时为增函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴……………………………………3分 ‎，即…………………………3分 或，考虑到，且，‎ 可得符合条件的值分别为………4分 ‎19.（理）(本题满分16分)某大学开设甲乙丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。已知某学生只选修甲的概率是0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的门数的乘积。‎ ‎（1）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；‎ ‎（2）求的分布列和数学期望． ‎ 解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、‎ ‎ 依题意得 ‎ 若函数为上的偶函数，则=0 ‎ ‎ 当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴事件的概率为 ‎ ‎ （2）依题意知 ‎ ‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎ ∴的数学期望为 ‎ ‎20. (本题满分16分)已知函数为奇函数，且在处取得极大值2。‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）记，求函数的单调区间。‎ ‎（1）由（≠0）为奇函数，‎ ‎ ∴，代入得，……………………………………… 2分 ‎ ∴，且在取得极大值2.‎ ‎ ∴………………………………………… 4分 ‎ 解得，，∴……………………………… 6分 ‎ （2）∵，‎ ‎ ∴………………………… 8分 ‎ 因为函数定义域为（0，+∞），所以 ‎ 1当，时，，‎ ‎ 函数在（0，+∞）上单调递减；……………………………………… 10分 ‎ 2当时，，∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴函数在（0，+∞）上单调递减；…………………………………… 12分 ‎ 3时，，令，得，∵，‎ ‎ ∴，得，‎ ‎ 结合，得；‎ ‎ 令，得，同上得，，‎ ‎ ∴时，单调递增区间为（，），‎ ‎ 单调递减区间为（，+∞）……………………………………… 14分 ‎ 综上，当≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；‎ ‎ 当时，函数的单调递增区间为（0，），‎ ‎ 单调递减区间为（，+∞）……………………………………… 16分