江苏省扬州市2020届高三下学期数学最后一卷含附加题

江苏省扬州市2020届高三下学期数学最后一卷含附加题

‎2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 数学Ⅰ ‎2020.06‎ ‎（全卷满分160分，考试时间120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．‎ ‎2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．已知集合，，则，则实数的值是 ▲ ．‎ ‎2．已知复数满足(i为虚数单位)，则 ▲ ．‎ ‎3．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个 年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年 级抽取 ▲ 名志愿者． ‎ ‎4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 ▲ ．‎ S←0‎ I ←1‎ While I<4‎ S←S+5‎ I ←I +1‎ End While Print S ‎ ‎ 第4题图 第9题图 ‎5．已知抛物线的准线也是双曲线的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是 ▲ ．‎ ‎6．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3‎ 名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 ▲ ．‎ ‎7．已知数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎8．已知，则的解集为 ▲ ．‎ ‎9．如图，已知正是一个半球的大圆的内接三角形，点在球面上，且面，则三棱锥与半球的体积比为 ▲ ．‎ ‎10．已知，则 ▲ . ‎ ‎11．设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为 ▲ .‎ ‎12．已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为 ▲ .‎ ‎13．已知等腰梯形中，，，若梯形上底上存在点，使得，则该梯形周长的最大值为 ▲ .‎ ‎14．锐角中，分别为角的对边，若，则的取值范围为 ▲ .‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 设函数，.‎ ‎(1) 求的最小正周期和对称中心；‎ ‎(2) 若函数，求函数在区间上的最值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，四面体被一平面所截，平面与四条棱分别相交于四点，且截面是一个平行四边形，平面，. 求证：‎ ‎(1) ；‎ ‎(2) 平面.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧. 现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧相切于点E，从而将正方形区域OABC分成三块：扇形COE为区域I，四边形OADE为区域II，剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树，区域II内种花，区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为、、，总造价是W，设.‎ ‎(1) 分别用表示区域I、II、III的面积；‎ ‎(2) 将总造价W表示为的函数，并写出定义域；‎ ‎(3) 求为何值时，总造价W取最小值？‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，左顶点为，右焦点为. 已知斜率为2的直线经过点，与椭圆相交于两点，且到直线的距离为. ‎ ‎(1) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 若过的直线与直线分别相交于两点，且，求的值. ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数. ‎ ‎(1) 若曲线与直线在处相切.‎ ‎① 求的值；‎ ‎② 求证：当时，；‎ ‎(2) 当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. ‎ ‎(1) 若，求的值；‎ ‎(2) 若，求证：数列是等差数列； ‎ ‎(3) 若，，是否存在实数，使得对任意正整数恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.‎ 扬州市2020届高三考前调研测试 数学Ⅱ ‎（全卷满分40分，考试时间30分钟）‎ ‎2020．06‎ ‎21. 已知矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值．‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是：.以为极点,轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与曲线相交于两点,且,求实数的值.‎ ‎23. 如图，在三棱锥中，已知，都是边长为2的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．‎ ‎(1) 当时，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2) 当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值.‎ ‎24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则．‎ ‎(1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率；‎ ‎(2) 求的分布列和数学期望.‎ ‎2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 5 3. 15 4. 15 5. ‎ ‎6. 7. 1 8. 9. 10. ‎ ‎11. 2 12. 13. 14. ‎ 二、解答题 ‎15．解：(1) 由已知，f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)+ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)． ……………………4分来 最小正周期为，对称中心为.…………………7分[‎ ‎(2) …… ……………………8分[‎ 在区间上单调递增 .………10分[‎ ‎ ………………………12分 ‎ …………………………14分[‎ ‎16. 证明：(1) 因为四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，所以平面， ………………….4分 又平面，平面平面，所以. ……………….7分 ‎(2) 因为平面，平面，所以， ‎ 由(1)知，所以. ………………….10分 因为，所以. ………………….12分 又，、平面， ‎ 所以平面. ………………….14分 ‎17. 解：(1)如图， ………………… 2分 连接OD，则≌，，， ………4分 ‎. ………………… 5分 ‎(2) ， ………………… 7分 由，知，所以函数的定义域为 ……………… 9分 ‎(3) ， …………………11分 由，得或（舍去）‎ 又，所以 ‎ 当时， ，函数在上单调递减，‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 所以当时，取最小值.‎ 答：时，总造价W取最小值 ………………… 14分 ‎18．解：(1) 设椭圆的焦距为，‎ 则直线的方程为，即.‎ 因为到直线的距离为，，‎ 所以，则. ………………….3分 因为椭圆的右准线的为直线，则，所以，，‎ 故椭圆的标准方程为. ………………….4分 ‎(2) 由(1)知：，设，.‎ 由得，则 ………….6分 由，可知，‎ 由得， ………………….9分 同理，‎ 因为，所以，‎ 由图可知， ………………….12分 所以，‎ 即，‎ 所以 ……………….14分 ‎. ………………….16分 ‎19. 解：(1) ①因为，所以.‎ 因为曲线与直线在处相切，‎ 所以，所以.‎ 所以，所以. ‎ 又切点在直线上，所以，‎ 所以，所以；………………………4分 ‎② 由①知，可设，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 由，所以，‎ 所以存在，使得， ………………………8分 所以当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，所以，‎ 即，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，， ‎ 故当时， ………………………10分 ‎(3）先证. 构造函数，则.‎ 故当时，，在上递增，当时，，在上递减，‎ 所以，即 ………………………………12分 又当，且时，等价于 故原题等价于时，有解.‎ 因为（当时取等号），‎ 所以. ………………………………………16分 ‎20. (1) 解：由，令，得，‎ 因为数列的各项均为非零实数，所以，‎ 所以，‎ 所以. ………………3分 ‎(2) 证明：由得：‎ ‎，，……，，相乘得：，‎ 因为数列的各项均为非零实数，所以，‎ 当时：，所以，‎ 即，即，因为，所以，‎ 所以数列是等差数列，首项为，公差为，‎ 所以，所以，‎ 所以，，所以，‎ 所以，所以数列是等差数列. ………………9分 ‎(3) 解：当，时，由(2)知，所以，即，‎ 不妨设，则，，所以，‎ 即对任意正整数（）恒成立，‎ 则，即对任意正整数恒成立，‎ 设，则，‎ 设，则，‎ 当时，，所以，所以，所以，‎ 所以，当且时，，‎ 所以不存在满足条件的实数. ………………16分 三、加试题 ‎21. 解：设矩阵A的逆矩阵为，‎ 则=，即=，‎ 故，，，.‎ 所以矩阵A的逆矩阵为. ………5分 矩阵的特征多项式为 ‎ 令，解得的特征值为． ………………………10分 ‎22. 解：曲线的直角坐标方程为，表示圆心为，半径为的圆 由，得，．………2分 设圆心到直线的距离为，则， …………4分 所以，‎ 令，得或．…………………10分 ‎23. 解：连接CE，因为△BCD为正三角形，所以DB 又因为平面，平面BCD，所以AE⊥CE ‎ 以为正交基底建立如图空间直角坐标系，‎ 则，‎ 因为F为线段AB上一动点，且，‎ 则，所以.‎ ‎（1）当时，，，‎ 所以；…………4分 ‎（2）， ‎ 设平面的一个法向量为=‎ 由,得，化简得，‎ 取 又平面的一个法向量为 设平面与平面所成角为，则.‎ 解得或（舍去），所以. 　　　　 …………10分 ‎24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A，则．‎ 答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为． ………………………3分 ‎(2) X的取值为：1、2、3、4.‎ 其中=1时，7只白猫相邻，则；‎ 时，；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以. ………………………10分