2018-2019学年江苏省徐州市高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江苏省徐州市高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江苏省徐州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．=______‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎5×4×3＝60．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列数公式，属于基础题．‎ ‎2．若i是虚数单位，且复数z满足z＝3﹣i，则＝______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知直接代入复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z＝3﹣i，∴|z|．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．用反证法证明命题“如果m＜n，那么”时，假设的内容应该是______‎ ‎【答案】假设 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，由此得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，‎ 故答案为：假设m7≥n7‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．‎ ‎4．若，则x的值为______．‎ ‎【答案】3或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合组合数公式结合性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由组合数的公式和性质得x＝2x﹣3，或x+2x﹣3＝9，‎ 得x＝3或x＝4，经检验x＝3或x＝4都成立，‎ 故答案为：3或4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎5．已知复数（是虚数单位），则＝______‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入ω3﹣2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴ω3﹣2‎ ‎．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎6．用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是______‎ ‎【答案】37‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．‎ ‎【详解】‎ 第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块 第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；‎ 第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；…‎ 设第n个图案中有瓷砖an块，用数列{}表示，则＝6+1＝7，＝11+2＝13，＝16+3＝19，可知﹣＝﹣＝6，…‎ ‎∴数列{}是以7为首项，6为公差的等差数列，‎ ‎∴＝7+6（n﹣1）＝6n+1，‎ ‎∴＝37，‎ 故答案为：37.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的问题，属于基础题.‎ ‎7．有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．‎ ‎【答案】大前提 ‎【解析】‎ 因为导数等于零的点不一定是极值点.如函数y=x3,它在x=0处导数值等于零，但x=0不是函数y=x3的极值点.因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点 ‎8．用数学归纳法证明（，n＞1）时，第一步应验证的不等式是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。‎ 考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。‎ 点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。‎ ‎9．在△AOB的边OA上有4个点，边OB上有5个点，加上O点共10个点，以这10个点为顶点的三角形有______个．‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构成三角形的三个点不共线，所以在12个点中任意取3个点构成三角形的情况中把在同一直线上的点除外即可 ‎【详解】‎ C310﹣C35﹣C36＝90．‎ 故答案为：90‎ ‎【点睛】‎ 此题既考查了计数原理的知识，又复习了构成三角形的条件，是一道较容易的题目.‎ ‎10．已知复数z满足等式，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，数形结合得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎|z﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，‎ 如图：‎ ‎|z﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.‎ 由图可知，|z﹣3|的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎11．某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为______‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据人数进行分组分1，1，1，3或1，1，2，2，结合甲乙一组，然后进行讨论即可．‎ ‎【详解】‎ ‎6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，‎ 则四个年级的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，‎ 因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，‎ 所以若甲乙一组3个人，则从剩余4人选1人和甲乙1组，有C4，然后全排列有4A96，‎ 若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有C6，然后全排列有6A144，‎ 共有144+96＝240，‎ 故答案为：240．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的应用，结合条件进行分组，讨论人数关系是解决本题的关键．‎ ‎12．如图(1)所示，点O是内任意一点，连结 ，并延长分别交对边于 ,则，类比猜想：点O是空间四面体 内的任意一点，如图(2)所示，连结并延长分别交平面 ，平面 ，平面 ，平面于点 ，则有______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．‎ ‎【详解】‎ 利用类比推理，猜想，点O是空间四面体V﹣BCD内的任意一点，连结VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，应有；‎ 用“体积法”证明如下：‎ ‎.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，用平面中图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，属于基础题．‎ ‎13．设二项展开式，则 ＝__‎ ‎【答案】82‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的展开式两边对x求导后，令x＝1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6‎ ‎．由二项展开式，令x＝0，可得：a0＝（﹣2）6．即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 二项展开式，‎ 两边对x求导可得：6×3（3x﹣2）5＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5．‎ 令x＝1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6＝18．‎ 由二项展开式，令x＝0，可得：a0＝（﹣2）6＝64．‎ ‎∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6＝18+64＝82．‎ 故答案为：82．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的求值、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第______张．‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按规则将过程一一呈现罗列出来即可得解 ‎【详解】‎ 第一次剩下的卡片是27张：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…54，‎ 第二次剩下的卡片是14张：54，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，‎ 第三次剩下的卡片是7张：4，12，20，28，36，44，52，‎ 第四次剩下的卡片是4张：52，12，28，44，‎ 第五次剩下的卡片是2张：12，44．‎ 第六次剩下的卡片是1张：44．‎ 故答案为：44．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了数字规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．已知复数（）．‎ ‎（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；‎ ‎（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（2，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由纯虚数的概念列方程组求解即可；‎ ‎（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为复数为纯虚数，所以，‎ 解之得，．‎ ‎（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，‎ 解之得，得．‎ 所以实数的取值范围为（2，3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎16．在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．‎ ‎（1）求展开式中的所有有理项；‎ ‎（2）求二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（1），，（2）和 ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）∵‎ 由题设可知……………2分 解得n=8或n=1（舍去）‎ 当n=8时，通项……………4分 据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8‎ ‎∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，………6分 ‎（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1‎ ‎∵， 由≥1得r≤3 ……………9分 又∵，由≤1得：r≥2 ……………11分 ‎∴ r=2或r=3所求项为和……………13分 考点：等差数列；两项式定理；‎ 点评：两项式定理经常作为考点。在两项式的展开式中，第项是。‎ ‎17．把5件不同产品摆成一排．‎ ‎（1）若产品A必须摆在正中间，排法有多少种？‎ ‎（2）若产品A必须摆在两端，产品B不能摆在两端的排法有多少种？‎ ‎（3）若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的排法有多少种？‎ ‎【答案】（1）24种 （2）36种（3）36种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将A放中间,其他全排列即可;‎ ‎(2)先排A,再排B,其他全排即可;‎ ‎(3)将AB捆绑,进行排列,减去AC相邻的情况即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）A摆在正中间，其他4个产品进行全排列，故共有（种）排法．‎ ‎（2）分三步，第一步将产品A摆在两端，有2种；第二步将产品B摆在中间三个位置之一，有3种排法；第三步将余下的三件产品摆在余下三个位置，有种排法，故共有（种）排法．‎ ‎（3）将A，B捆绑在一起，有种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有 种摆法，共有（种）摆法，而A，B，C三件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有（种）摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48-12=36（种）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列问题，涉及相邻问题用捆绑，特殊元素优先排，正难则反的技巧，属于中档题.‎ ‎18．已知数列的前n项和为，且，()．‎ ‎（1）求，，，，并猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式．‎ ‎【答案】（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）‎ ‎∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）‎ ‎∵a1=1，∴S1=a1=1.‎ ‎∴S2=，S3==，S4=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 猜想Sn=（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 ‎（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.‎ ‎②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，‎ 当n=k+1时，‎ Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，‎ ‎∴ak+1=，‎ ‎∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，‎ ‎∴n=k+1时等式也成立，得证.‎ ‎∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 又∵ak+1=，∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列中和的关系式，得到，进而由，即可分别求解得值，归纳猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法作出证明：第一步，先证明时，结论成立，第二步，假设时成立，证明时也成立，即可得到结论成立．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)‎ 所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)‎ 因为a1＝1，所以S1＝a1＝1.‎ 所以S2＝，S3＝＝，S4＝，‎ 猜想Sn＝ (n∈N*)．‎ ‎(2)①当n＝1时，S1＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即Sk＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，‎ 所以ak＋1＝，‎ 所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.‎ 所以n＝k＋1时等式也成立，得证．‎ 所以根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．‎ 由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列问题的归纳、猜想与证明，以及数学归纳法的应用问题，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎19．已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为，，则＝﹣1，是与点P的位置无关的定值．‎ ‎（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；‎ ‎（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作⊥PA，⊥PB，直线，交于点C，直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，则点，由，由椭圆方程带入化简可得解；‎ ‎（2）设AP的斜率为k，，结合（1）中的结论可得直线AC、BC和BQ的方程，联立直线方程可得和，由，结合可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）性质：设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点．若直线，的斜率都存在并分别记为，，则是与点的位置无关的定值．‎ 证明：设点，则点，从而．设点则，‎ 则，‎ 故是与点P的位置无关的定值．‎ ‎（2）设AP的斜率为k，，因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以由（1）结论可知，所以BP的斜率为．‎ 因为，所以，则AC的方程为 因为，所以，则BC的方程为.‎ 由，得，即 设，因为，‎ 且直线的斜率，所以的斜率为，则的方程为 联立方程，得，即 则 因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用好第一问的结论，通过斜率的乘积为定值得到各直线方程，联立求交点是解题的关键，属于难题.‎ ‎20．（1）用反证法证明：若角A，B为三角形ABC的内角，且A＞B，则cosB＞0；‎ ‎（2）证明：当a＞0，b＞0，且a≠b时，有．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）假设，结合角的范围推出，得到矛盾从而得证；‎ ‎（2）不妨设，将不等式变形为和，令且，进而构造函数证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：假设，因为B为三角形ABC内角，所以，则，‎ 因为，所以，则，这与矛盾，故假设不成立，因此．‎ ‎（2）证明：根据对称性，不妨设．‎ ‎①因为，‎ 且．‎ 令，则．‎ 因为，所以．‎ 所以在上单调递减，‎ 所以．‎ 即成立，可知成立．‎ ‎②因为．‎ 且．令 则，因为，所以，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以．‎ 即成立，可知．‎ 综上所述，当，且时，有．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的证明及“集中变量法”证明多元不等式，通过集中变量，构造函数证明不等式是本题的难点.‎