2019届高三数学第十九次考试试题 文 新人教版

2019届高三数学第十九次考试试题 文 新人教版

- 1 - 2019 届高三第十九次考试 文数试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则 等于 （ ） A． B． C． D． 2.若复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图 形是（ ） A． B． C． D． 4.公元 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积 可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后两位的近似值 ，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个 程序框图，则输出 的值为（ ）（参考数据： ， ） U R= ( ){ }5 0A x x x= − ≥ { }3B x y x= = − ( )UC A B∩ ( )0,3 ( )0,5 ∅ ( ]0,3 z ( )1 1 2i z i+ = − z 3 2 3 2 − 3 2 i 3 2 i− 263 3.14 n sin15 0.2588= sin 7.5 0.1305= - 2 - A． B． C. D． 5.设实数 ， 满足条件 那么 的最大值为（ ） A． B． C. D． 6.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为 分钟，则一个人在不知道时 间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（ ） A． B． C. D． 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大棱长为（ ） A． B． C. D． 12 18 24 32 x y 1 0 1 0 1 0 x y y x y − + ≥  + ≥  + + ≤ 2x y− 3− 2− 1 2 5 1 14 1 12 1 7 1 6 5 6 7 2 2 - 3 - 8.函数 的图象可能是（ ） A． B． C. D． 9.已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C. D． 10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一 个交点，若 ，则 （ ） A． B． C. D． 11.已知底面半径为 ，高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 的球面上，则此球的表面 积为（ ） A． B． C. D． 12.已知函数 ， 的图象在区间 ( ) ( ) ( ) 2 3 ln 4 4 2 x x f x x − + = − ( ) 12 2 x xf x x = −   ( ) ( )1f x f x− > x 1, 2  −∞   1, 2  −∞ −   1 ,2  +∞   1 ,2  − +∞   2: 8C y x= F l M l Q MF C 3FM FQ=  QF = 8 3 5 2 3 2 1 3 O 32 3 27 π 4π 16 3 π 12π ( ) 22sin 4f x x π = +   ( ) 1 cos 2 4g x π π = + +   - 4 - 上有且只有 个交点，记为 ，则 （ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ， ，若 ，则 ． 14.已知 ，则 ． 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数； ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的 一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”.那么 是斐波那契数 列中的第 项． 16.在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ， ，则 的面积为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有 成立.记 . （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 18. 如图已知棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， ，点 是棱 的中点，点 在 棱上，且 ， 平 面 . ,2 2m m π π − +   9 ( )( ), 1,2, ,9i ix y i =  ( )9 1 i i i x y = + =∑ 9 2 π 8 9 82 π + 9 92 π + ( )1,2a = ( ), 1b x= − ( )/ /a a b−   a b⋅ =  tan 2α = 2cos sin 2α α+ = 1,1,2,3,5,8,13, { }na 2 2 2 2 1 2 3 2015 2015 a a a a a + + + + ABC∆ A B C a b c 1 cos sin2 b A B= 2 3a = 6b c+ = ABC∆ { }na n nS n 4 3 2n na S= + 2logn nb a= { }na { }nb ( ) ( )1 4 1 3n n n c b b + = + ⋅ + { }nc n nT 1 3 3 4nT≤ < S ABCD− ABCD 2 60BAD∠ =  5SA SD= = 7SB = E AD F SC SF SC λ= / /SA BEF - 5 - （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 19.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏. 将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中制取了 名 选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图. （Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的 列联表，并 据此资料你是否有 的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注： ，其中 . 0.10 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 λ F EBC− 100 2 2× 95% ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P k k≥ 0k - 6 - （Ⅱ）若参赛选手共 万人 ，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数； （Ⅲ）在优秀等级的选手中取 名，依次编号为 ， ， ， ， ， ，在良好等级的选手 中取 名，依次编号为 ， ， ， ， ， ，在选出的 名优秀等级的选手中任取一名， 记其编号为 ，在选出的 名良好等级的选手中任取一名，记其编号为 ，求使得方程组 有唯一一组实数解 的概率. 20. 如图，已知椭圆 ，其左右焦点为 及 ，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 ， 两点，且 、 、 构成等差数列. （1）求椭圆 的方程； （2）记 的面积为 ， （ 为原点）的面积为 ，试问：是否存在直线 ， 使得 ？说明理由. 21. 已知函数 ，（ ）. （1）若 在 处取到极值，求 的值； （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围； （3）求证：当 时， . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系 中取相同的长度单位，直线 的参数方程为 （ 是参数），圆 的极坐标方程为 6 6 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 5 6 6 a 6 b 3 2 2 ax by x y + =  + = ( ),x y ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 1F C A B AB G AB x y D E 1AF 1 2F F 2AF C 1GF D∆ 1S OED∆ O 2S AB 1 2S S= ( ) ( )2 lnf x a x x x= − − a R∈ ( )f x 1x = a ( )0f x ≥ [ )1,+∞ a 2n ≥ 1 1 1 1 ln 2 ln3 ln n n n −+ + + > xOy x l 2 1 x t y t = +  = + t C - 7 - . （Ⅰ）求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线 与直线 的交于 ， 两点，若 点的直角坐标为 ，求 的 值. 23.已知函数 . （1）解不等式 ； （2）记函数 的最小值为 ，若 ， ， 均为正实数，且 ，求 的最小值. 4 2 sin 4 πρ θ = +   l C C l A B P ( )2,1 PA PB− ( ) 2 1 1f x x x= + + − ( ) 3f x ≥ ( )f x m a b c 1 22 a b c m+ + = 2 2 2a b c+ + - 8 - 试卷答案 一、选择题 1-5:DBACC 6-10: DBCAA 11、12：CD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.（Ⅰ）在 中，令 得 . 因为对任意正整数 ，都有 成立， 时， ， 两式作差得， ，所以 ， 又 ，所以数列 是以为首项， 为公比的等比数列，即∴ ， ∴ （Ⅱ）∵ ， ∴ . ∴ ∴对任意 ， . 又 ，所以， 为关于 的增函数，所以 ， 综上， 18.（Ⅰ）连接 ，设 ，则平面 平面 ，∵ 平面 ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . 5 2 − 1 2016 2 3 4 3 2n na S= + 1n = 1 2a = n 4 3 2n na S= + 2n ≥ 1 14 3 2n na S− −= + 14 4 3n n na a a−− = 14n na a −= 1 0a ≠ { }na 4 12 4n na −= × 2 1 2 2log log 2 2 1n n nb a n−= = = − 2 1nb n= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 4 1 1 1 1 1 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2n n n c b b n n n n n n+  = = = = × − + ⋅ + − + ⋅ + + ⋅ + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT L n n n n          = − + − + − + + − + −         − + +          1 1 1 1 3 1 1 112 2 1 2 4 2 1 2n n n n    = + − − = − +   + + + +    n N ∗∈ 3 4nT < 0nc > nT n 1 1 1 3nT T c≥ = = 1 3 3 4nT≤ < AC AC BE G= SAC  EFB FG= / /SA EFB / /SA FG GEA GBC∆ ∆∽ 1 2 AG AE GC BC = = 1 1 2 3 SF AG SF SCFC GC = = ⇒ = 1 3 λ = - 9 - （Ⅱ）∵ ，∴ ， ， 又∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ 平面 ， 所以 . 19.解：（Ⅰ）由条形图可知 列联表如下 优秀 合格 合计 大学组 45 10 55 中学组 30 15 45 合计 75 25 100 ∴没有 的把握认为优秀与文化程度有关. （Ⅱ）由条形图知，所抽取的 人中，优秀等级有 人，故优秀率为 . ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为 万人. （Ⅲ） 从 ， ， ， ， ， 中取， 从 ， ， ， ， ， 中取，故共有 种 ， 要使方程组 有唯一组实数解，则 ，共 种情形. 故概率 . 5SA SD= = SE AD⊥ 2SE = 2AB AD= = 60BAD∠ =  3BE = 2 2 2SE BE SB+ = SE BE⊥ SE ⊥ ABCD 2 1 1 1 4 32 2sin 60 23 3 3 3 9F BCE S EBC S ABCDV V V− − −= = = × × × × = 2 2× ( )2 2 100 45 15 10 30 100 3.030 3.84175 25 45 55 33K × × − ×= = ≈ <× × × 95% 100 75 75 3 100 4 = 36 4.54 × = a 1 2 3 4 5 6 b 1 2 3 4 5 6 36 3 2 2 ax by x y + =  + = 1 2 a b ≠ 33 33 11 36 12P = = - 10 - 20.解析：（1）因为 、 、 构成等差数列， 所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）假设存在直线 ，使得 ，显然直线 不能与 ， 轴垂直. 设 方程为 ， 将其代入 ，整理得 ， 设 ， ，所以 ， 故点 的横坐标为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 解得 ，即 . ∵ 和 相似，∴若 ，则 ， ∴ 整理得 ，因此此方程无解， 所以不存在直线 ，使得 . 21.（1） ， ∵ 在 处取到极值，∴ 即 ，∴ 时，令 ∴ 在 上减，在 上增， 1AF 1 2F F 2AF 1 2 1 22 2 4a AF AF F F= + = = 2a = 1c = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = AB 1 2S S= AB x y AB ( )1y k x= + 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ + + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 8 4 3 kx x k −+ = + G 2 1 2 2 4 2 4 3 x x k k + −= + 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k kG k k  −  + +  DG AB⊥ 2 2 2 3 4 3 14 4 3 D k k kk xk + × = −− −+ 2 24 3D kx k −= + 2 2 ,04 3 kD k  −  +  1Rt GDF∆ Rt ODE∆ 1 2S S= GD OD= 2 22 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 k k k k k k k k  − − − − + =   + + + +   28 9 0k + = AB 1 2S S= ( ) 12f x ax a x ′ = − − ( )f x 1x = ( )1 0f ′ = 1 0a − = 1a = 1a = ( ) 22 1 0 1x xf x xx − −′ = > ⇒ > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ - 11 - 所以 在 处取到极小值. （2） ，令 ，（ ） 当 时， ， 在 上单调递减，又 ， ∴ 时， ，不满足 在 上恒成立. 当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，过 ①当 即 时， 在 上恒成立，∴ ，从而 在 上单调递增，又 ∴ 时， 成立，满足 在 上恒成立. ②当 即 时，存在 ，使 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，∴ ，又 ，∴ 故不满足题意. 当 时，二次函数 开口向下，对称轴为 ， 在 单调递减， ，∴ ， 在 上单调递减，又 ，∴ 时， ，故不满足题意. 综上所述， . （3）证明：由（1）知令 ，当 时， （当且仅当 时取 “=”） ∴当 时， . 即当 ，有 . 22. 解（Ⅰ）直线 的普通方程为： ， ( )f x 1x = ( ) 22 1ax axf x x − −′ = ( ) 22 1g x ax ax= − − 1x ≥ 1′′ 0a = ( ) 1 0f x x −′ = < ( )f x [ )1,+∞ ( )1 0f = 1x ≥ ( ) 0f x ≤ ( ) 0f x ≥ [ )1,+∞ 2′′ 0a > ( )g x 1 4x = ( )0, 1− ( )1 0g ≥ 1a ≥ ( ) 0g x ≥ [ )1,+∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )1,+∞ ( )1 0f = 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) 0f x ≥ [ )1,+∞ ( )1 0g < 0 1a< < 0 1x > ( )01,x x∈ ( ) 0g x < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x > ( )f x ( ) ( )0 1f x f< ( )1 0f = ( )0 0f x < 3′′ 0a < ( )g x 1 4x = ( )g x [ )1,+∞ ( )1 1 0g a= − < ( ) 0g x < ( )f x [ )1,+∞ ( )1 0f = 1x ≥ ( ) 0f x ≤ 1a ≥ 1a = [ )1,x∈ +∞ ( )2 ln 0x x x− − ≥ 1x = 2x > 2 1 2 ln x x x > − 2,3,4, ,x n=  2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln3 ln 2 2 3 3n n n + + + > + + +− − −  ( ) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1n n = + + + +× × × − 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 n n n n n −       = − + − + − + + − = − =       −        l 1y x= − - 12 - ，所以 . 所以曲线 的直角坐标方程为 （或写成 ）. （Ⅱ）点 在直线 上，且在圆 内，由已知直线 的标准参数方程是 代 入 ， 得 ，设两个实根为 ， ，则 ， ，即 ， 异号. 所以 . 23.（1） ∴ 等价于 或 或 . 解得 或 . ∴原不等式的解集为 . （2）由（1），可知当 时， 取最小值 ，即 ∴ . 由柯西不等式，有 . ∴ . 当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立. 4 2 sin 4sin 4cos4 πρ θ θ θ = + = +   2 4 sin 4 cosρ ρ θ ρ θ= + C 2 2 4 4 0x y x y+ − − = ( ) ( )2 22 2 8x y− + − = ( )2,1P l C l 22 2 21 2 x t y t  = +  = + 2 2 4 4 0x y x y+ − − = 2 2 7 0t t− − = 1t 2t 1 1 2t t+ = 1 2 7 0t t = − < 1t 2t 1 2 1 2 2PA PB t t t t− = − = + = ( ) 13 , 2 12 1 1 2, 1.2 3 , 1 x x f x x x x x x x − ≤ − = + + − = + − < <  ≥  ( ) 3f x ≥ 1 2 3 3 x x  ≤ − − ≥ 1 12 2 3 x x − < <  + ≥ 1 3 3 x x ≥  ≥ 1x ≤ − 1x ≥ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ 1 2x = − ( )f x 3 2 3 2m = 1 322 2a b c+ + = ( ) 2 2 2 2 2 2 21 11 2 22 2a b c a b c     + + + + ≥ + +          2 2 2 3 7a b c+ + ≥ 2 2 ca b= = 1 7a = 2 7b = 4 7c = - 13 - ∴ 的最小值为 . 2 2 2a b c+ + 3 7