数学理卷·2019届山西省孝义市高二上学期期末考试（2018-02）

数学理卷·2019届山西省孝义市高二上学期期末考试（2018-02）

‎2017-2018年度第一学期高二年级期末考试试题 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎3.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 表示两个不同的平面，表示既不在内也不在内的直线，存在以下三种情况：‎ ‎①；②；③.‎ 若以其中两个为条件，另一个为结论构成命题，则其中正确命题的个数为（ ）‎ A． 0 B．1 C. 2 D．3‎ ‎5.在中，，，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且，直线与直线平行，则（ ）‎ A． -4 B． 0 C. -2 D．2‎ ‎7.设实数满足不等式组，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.曲线与曲线有相同的（ ）‎ A．长轴长 B．短轴长 C.离心率 D．焦距 ‎9.已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.当曲线与直线有公共点时，实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）‎ A． 12 B．13 C. 14 D．15‎ ‎12.如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点，这样，下列五个结论：‎ ‎①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面.‎ 正确的个数是（ ）‎ A． 1 B． 2 C. 3 D．4‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“”的否定是 ．‎ ‎14.某四棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为 ．‎ ‎15.过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为，若，则该球的体积为 ．‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，若点是该抛物线上的点，，线段的中点在抛物线的准线上的射影为，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知点及圆.‎ ‎（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；‎ ‎（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.‎ ‎18. 在中，分别为内角的对边，设.‎ ‎（1）若且，求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的大小.‎ ‎19. 已知数列的前项和 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，，求的前项和.‎ ‎20. 在四棱锥中，，且，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的投影为.‎ ‎（1）求证：是的中点；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎21. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）将曲线的图像向左平移1个单位，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线的图像，若曲线与轴的正半轴及轴的正半轴分别交于点，在曲线上任取一点，且点在第一象限，求四边形面积的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 ‎1--5 BABCD 6--10 CBDAC 11--12 DB ‎13、 14.3 15、 16、‎ ‎17、解：（1）因为，设是线段的中点，则 ‎ ‎ 点C的坐标为（－2，6） 在中，可得 ‎ 设所求直线的方程为：即 ‎ 由点到直线的距离公式得： ‎ 此时直线的方程为： ‎ 又直线的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为： 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以所求直线的方程为： 或 ‎ ‎（2）设过点P的圆C的弦的中点为，则 即 ‎ 所以化简得所求轨迹的方程为：‎ ‎ ‎ ‎18、解：(1)由，得，∴，‎ 又由正弦定理，得，‎ ‎∵，∴，将其代入上式，得，‎ 整理得：，∴.‎ ‎∵角是三角形的内角，∴. ‎ ‎(2)∵，∴，即， ‎ 又 由余弦定理， ‎ ‎19、解：（1）当时，由 ‎ 当时，‎ 所以 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）由（1）及 ，可知， ‎ ‎ 所以， ‎ 故 ‎ ‎. ‎ ‎20、（1）证明：∵和都是等边三角形，‎ ‎∴， 又∵底面，∴，‎ 则点为的外心，又因为是直角三角形，∴点为中点. ‎ ‎（2）证明：由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，‎ 底面，∴，‎ ‎∵在中，，， ∴，‎ 又且，∴，从而即， ‎ 由，得面，∴. ‎ （3） 以点为原点，以所在射线为轴 ，轴，轴建系如图，‎ ‎∵，则，,‎ ‎，，，，‎ 设面的法向量为，则，‎ 得，，‎ 取，得 故.‎ 设面的法向量为，则 ‎，，取，则，故，‎ 于是，‎ 由图观察知为钝二面角，所以该二面角的余弦值为. ‎ ‎21、解（Ⅰ）由已知得，又， ‎ 所以椭圆的方程为： ；‎ ‎（Ⅱ）设，则，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由以为直径的圆经过坐标原点，得，‎ 即（1）‎ 由，消除整理得： ，‎ 由，得，‎ 而（2）‎ ‎（3）‎ 将（2）（3）代入（1）得： ，‎ 即， ‎ 又，‎ 原点到直线的距离， ‎ ‎， ‎ 把代入上式得，即的面积是为. ‎ ‎22、选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由得，，所以 ‎（Ⅱ）由已知，曲线经过变换后所得方程的方程中为：. ‎ 所以，设.‎ 则， ‎ 所以.‎ 当时，四边形的面积取最大值. ‎ ‎23、解：（Ⅰ）由，得 ‎ ‎（Ⅱ）由题意知 又 ‎ 所以或