2017-2018学年广西柳州市第二中高二下学期5月段考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年广西柳州市第二中高二下学期5月段考数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年广西柳州市第二中高二下学期5月段考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数（是虚数单位，），在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．7‎ ‎7．函数的图象可以由函数的图象经过（ ）‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 ‎8．已知抛物线的焦点为，点，射线与交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（为坐标原点）的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．的展开式中的系数为（ ）‎ A．-80 B．-40 C．40 D．80‎ ‎10．已知在中，，，，一只小蚂蚁从的内切圆的同心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和右焦点，，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎12．若对任意，总存在唯一使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知，则 ．‎ ‎14．已知实数满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎15．已知等差数列的前项和，若，（且），则 ．‎ ‎16．已知正三棱锥的体积为，每个顶点都在半径为的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．‎ ‎（l）求的长；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18． “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．‎ ‎（l）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；‎ ‎（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望．‎ ‎19． 已知在三棱锥中，底面,,，是的中点，是线段上的一点，且，连接.‎ ‎（l）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎20． 如图，椭圆经过点，且点 到椭圆的两焦点的距离之和为．‎ ‎（l）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点为坐标原点，求证：三点共线．‎ ‎21． 已知函数在点处的切线为.‎ ‎（l）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，且存在，使得成立，求的最小值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．‎ ‎（l）求直线的普通方程，‎ ‎（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（l）若，解不等式；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 柳州市二中2016级高二下学期段考试题·数学（理科）‎ 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 ‎1-5:ACDAC 6-10:ABCDA 11、12：CB 二、填空题 ‎13． 14． 15．5 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意可得，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 整理得，解得，（舍去）.‎ 故的长为.‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，即.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为点在边上，所以.‎ 而，所以只能为钝角，所以.‎ 所以 ‎.‎ ‎18．解：（1）设表示事件“月用水量不低于12吨”，表示事件“月用水量低于4吨”，表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”.‎ 因此，，.‎ 因为每天的用水量相互独立，‎ 所以.‎ ‎（2）可能取的值为0,1,2,3，‎ 相应的概率分别为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故的分布列为 故的数学期望为.‎ ‎19．（1）证明：因为，所以.‎ 又，，‎ 所以在中，由勾股定理，得.‎ 因为，‎ 所以是的斜边上的中线.‎ 所以是的中点.‎ 又因为是的中点,‎ 所以直线是的中位线，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：以为原点，直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：‎ 因为，且分别是的中点，‎ 所以，.所以点，，，，.‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，则 由得得 所以令，得平面的一个法向量为；‎ 设直线与平面所成角的大小为，则.‎ 又，所以根据同角三角函数的基本关系，得.‎ 所以.‎ 故直线与平面所成角的正切值为.‎ ‎20．解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，‎ 所以，解得.‎ 又椭圆经过点，所以.‎ 所以.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，‎ 所以直线的斜率为-2.‎ 所以可设直线的方程为.‎ 据得.‎ 设点，，.‎ 所以，.‎ 所以，.‎ 因为，所以.‎ 所以点在直线上.‎ 又点，也在直线上，‎ 所以三点共线.‎ ‎21．解：（1）的定义域为，.‎ ‎∵函数在点处的切线为，‎ ‎∴解得 ‎∴.‎ ‎（2）由，得，‎ 令，‎ ‎，使得，则.‎ ‎，.‎ 令，则，‎ ‎∴在上为增函数.‎ 又，，‎ 故存在唯一的使得，即.‎ 当时，，‎ ‎∴，∴在上为减函数；‎ 当时，，‎ ‎∴，∴在上为增函数.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴的最小值为5.‎ ‎22．解：（1）直线的普通方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标是.‎ 过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所要求的直线上到点距离最小的点.‎ 直线的方程是，即.‎ 据解得 所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.‎ ‎23．解：（1）若，则为.‎ 所以，‎ 所以或，‎ 所以或.‎ 故不等式的解集是.‎ ‎（2）当时，‎ 讨论：当即时，，；‎ 当时，，，；‎ 当且时，，，.‎ ‎ ‎