2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章 3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是.( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
[教材衍化]
1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6 C．3 D．3
解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.
2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．
解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
[易错纠偏]
(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．
解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－.
答案：－
2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在
方向上的投影为________．
解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的投影为＝＝.
答案：
3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
答案：
平面向量数量积的运算
(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则( )
A．I1＜I2＜I3
B．I1＜I3＜I2
C．I3 ＜ I1＜I2
D．I2＜I1＜I3
(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【解析】 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO
I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB·，即I1>I3.所以I30)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.
法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.
【答案】 A
角度三 两向量垂直问题
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.求k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
【解】 由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
因为(a＋2b)⊥(ka－b)，
所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
所以k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
角度四 求参数值或范围
已知△ABC是正三角形，若－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
(1)求平面向量的夹角的方法
①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；
(2)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
1．(2020·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．
解析：设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a，
所以b2＋c2＋2b·c＝1.
即cos θ＝＝1＋.
因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1.
所以≤k≤.
所以－1≤cos θ≤－.
答案：
2．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析：因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
答案：
向量数量积的综合应用
(2020·金华十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝
(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解】 (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，则∠A＝________．
解析：因为2m·n＝2sin cos －2cos2 ＝sin A－(cos A＋1)＝sin －1，
又|m|＝1，
所以2m·n＋|m|＝sin＝，
即sin＝.
因为00，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
【解析】 (1)由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
【答案】 (1)6 (2)
向量在解析几何中的2个作用
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
[基础题组练]
1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
解析：选B.n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
2．(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则|－＋|等于( )
A．0 B.
C．2 D．2
解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则|－＋|2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋12＋12＝4，所以|－＋|＝2，故选C.
3．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.( )
A．若a·b<0则x>0，y>0
B．若a·b<0则x<0，y<0
C．若a·b>0则x<0，y<0
D．若a·b>0则x>0，y>0
解析：选A.由a·c>0，b·c>0，若a·b<0，
可举a＝(1，1)，b＝(－2，1)，c＝(0，1)，
则a·c＝1>0，b·c＝1>0，a·b＝－1<0，
由c＝xa＋yb，即有0＝x－2y，1＝x＋y，
解得x＝，y＝，则可排除B；
若a·b>0，可举a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(1，1)，
则a·c＝1>0，b·c＝3>0，a·b＝2>0，
由c＝xa＋yb，即有1＝x＋2y，1＝y，解得x＝－1，y＝1，
则可排除C，D.故选A.
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，
所以2·＝0，所以⊥.
所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.
5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.以A为坐标原点，，方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1，2)，所以·＝3λ－4≤2.
所以·的最大值为2.故选B.
6．(2020·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，
不妨设|a＋b|＝1，则|a|＝|b|＝λ.
令＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．
故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，
且0<θ<.
而由题意可得，b与a－b的夹角，
即与的夹角，等于π－θ，
△OAC中，由余弦定理可得|OC|2＝1＝|OA|2＋|AC|2－2|OA|·|AC|·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，
解得cos 2θ＝1－.
再由≤λ≤1，可得≤≤，所以－≤cos 2θ≤，所以≤2θ≤，所以≤θ≤，
故≤π－θ≤，即b与a－b的夹角π－θ的取值范围是.
7．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么|a－2b|＝________．
解析：因为平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，所以a·b＝4·4·cos 120°＝－8，
所以|a－2b|＝＝＝＝＝4.
答案：4
8．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．
解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2，
所以＝＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝，则θ＝.
a·b＝(2e1＋e2)·e2
＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2.
答案：2
9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为边CD上一个动点，＝λ，点P为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则·的取值范围为________．
解析：当λ＝1时，Q为CD的中点．
设＝m，＝n，＝μ(0≤μ≤1)．
易知＝－m＋n，＝＋＝m＋μ＝m＋μn，
＝－＝m＋μn－n＝m＋(μ－1)n，
所以·＝·＝·＝4＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.
根据二次函数性质可知，当μ＝时上式取得最小值；当μ＝0时上式取得最大值4.所以·的取值范围为.
答案：
10．(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足＝(1，)，＝(－，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；·
的取值范围是________．
解析：由＝(1，)，＝(－，1)得⊥，且||＝2，||＝2，所以凸四边形ABCD的面积为×2×2＝2；因为ABCD为凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点，记为M，则·＝(－)·(－)＝·＋·－·－·，
设＝λ，＝μ，则λ，μ∈(0，1)，且＝－λ，＝(1－λ)，
＝－μ，＝(1－μ)，所以·＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝时，·取到最小值－2.
答案：2 [－2，0)
11．已知m＝，n＝(cos x，1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，
展开变形可得，sin x＝cos x，
即tan x＝.
(2)f(x)＝m·n＝sin＋，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，
f(x)的单调递增区间为和.
12．(2020·金华市东阳二中高三月考)设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2－2b＋c2＝0，求·的取值范围．
解：因为O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，
如图所示，延长AO交外接圆于点D.
因为AD是⊙O的直径，所以∠ACD＝∠ABD＝90°.
所以cos∠CAD＝，cos∠BAD＝.
所以·＝·(－)
＝·－·
＝||||·cos∠CAD－||||·cos∠BAD＝||2－||2
＝b2－c2
＝b2－(2b－b2)(因为c2＝2b－b2)
＝b2－b＝－.
因为c2＝2b－b2>0，解得0
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