2017-2018学年黑龙江佳木斯市富锦第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

2017-2018学年黑龙江佳木斯市富锦第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

富锦一中 2017-2018 学年度高二第一学期第一次月考试题 数学试卷（文科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 满分 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一．选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共计 60 分，在每题给出的四个选项中，只有 一个是正确的） 1．椭圆 2 2 116 8 x y  的离心率为( ) A ． 1 2 B ． 2 2 C ． 1 3 D ． 3 3 2．若椭圆x2 16 ＋y2 b2＝1 过点(－2， 3)，则其焦距为( ) A．2 5 B．2 3 C．4 5 D．4 3 3. 抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A. - B. C. D. |a| 4. 若椭圆x2 16 ＋y2 b2＝1 过点(－2， 3)，则其焦距为( ) A．2 3 B． 2 5 C．4 3 D． 4 5 5 已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程为( ) A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1 C． (x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 6．椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1，d2，焦距为 2c.若 d1,2c，d2 成等 差数列，则椭圆的离心率为( ) A. 3 4 B. 1 2 C 2 2 . D. 3 2 7、已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2，b＝4，离心率为3 5 .过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点，则△ABF2 的周长为( ) A．10 B．12 C．16 D．20 姓 名 考 号 班 级 装 ○ 订 ○ 线 ○ 外 ○ 不 ○ 准 ○ 答 ○ 题 8、已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( ) A. x2 5 －y2 20 ＝1 B. x2 20 －y2 5 ＝1 C.x2 80 －y2 20 ＝1 D.x2 20 －y2 80 ＝1 9、当 a 为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的 圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 10. 已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 · 的 最小值为( ) A. 0 B.- C.1 D. -4 11．若椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，则双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的渐近线方程为( ) A．y＝±1 4 x B．y＝±1 2 x C．y＝±2x D．y＝±4x 12. 已知点 F1、F2 分别是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭 圆交于 A、B 两点，若△ABF2 为正三角形，则椭圆的离心率是( ) A． 3 3 B. 2 C．3 D. 2 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：(本大题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分) 13．若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0，3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是________. 14. 已知双曲线 x2－y2＝1，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1⊥PF2，则 |PF1|＋|PF2|的值为________． 15. 若双曲线x2 4 －y2 m ＝1 的渐近线方程为 y＝± 3 2 x，则该双曲线的焦点坐标是________． 16. 已知过点 P(－2,0)的双曲线 C 与椭圆x2 25 ＋y2 9 ＝1 有相同的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程 是________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分） 17．（ 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3，0)，离心率 e= . (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8. 18．（ 12 分）已知圆的方程是 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论 m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 19．（ 12 分）已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l： ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2时，求直线 l 的方程． 20.（12 分）已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4,- ). (1)求此双曲线的方程. (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求证: · =0. 21．（12 分）11．已知直线 l：2mx－y－8m－3＝0 和圆 C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R 时，证明 l 与 C 总相交； (2)m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短？求此弦长． 22．（ 12 分）椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与直线 x＋y＝1 交于 P、Q 两点，且 OP⊥OQ，其中 O 为坐标原点． (1)求1 a2＋1 b2的值； (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 3 ≤e≤ 2 2 ，求椭圆长轴的取值范围． 文科数学答案 1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7. D 8 .B 9.A 10.D 11.B 12.A 13. x2=12y 14. 2 15. (，0)，(－，0) 16. x±y＝0 17．（ 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3，0)，离心率 e= . (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8. 【解析】(1)若焦点在 x 轴上，则 a=3，因为 e= = ，所以 c= ，所以 b2=a2-c2=9-6=3. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 若焦点在 y 轴上，则 b=3，因为 e= = = = ，解得 a2=27.所以椭圆的标 准方程为 + =1. 综上可知，所求椭圆标准方程为 + =1 或 + =1. (2)设椭圆方程为 + =1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b， 所以 c=b=4，所以 a2=b2+c2=32， 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 18．（ 12 分）已知圆的方程是 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论 m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解】 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0 可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， ∴圆心为(1－m,2m)，半径 r＝3. (2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值 3，且圆心(a，b)满足方程组a＝1－m， b＝2m， 即 2a＋b ＝2. ∴不论 m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线 2x＋y－2＝0 上，且为等圆． 19．（ 12 分）已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 时，求直线 l 的方程． 【解】将圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0 配方，得标准方程为 x2＋(y－4)2＝4，则此圆的 圆心为(0,4)，半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|4＋2a|a2＋1 ＝2.解得 a＝－34. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， 得1.解得 a＝－7 或 a＝－1.故所求直线方程为 7x－y＋14＝0 或 x－y＋2＝0. 20.（12 分）已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过点 (4,- ). (1)求此双曲线的方程. (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求证: · =0. 【解析】(1)因为离心率 e= = ,所以 a=b.设双曲线方程为 x2-y2=n(n≠0), 因为点(4,- )在双曲线上,所以 n=42-(- )2=6.所以双曲线方程为 x2-y2=6. (2)因为点 M(3,m)在双曲线上,故 m2=3.又点 F1(-2 ,0),点 F2(2 ,0), 所以 · = · =- =-1.所以 · =0. 21．（12 分）11．已知直线 l：2mx－y－8m－3＝0 和圆 C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R 时，证明 l 与 C 总相交； (2)m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短？求此弦长． 【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点 P(4， －3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总 相交． (2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如图，当圆心 C(3，－6)到直线 l 的距离最大 时，线段 AB 的长度最短． 此时 PC⊥l，又 kPC＝ －3－(－6)4－3 ＝3，所以直线 l 的斜率为－13，则 2m＝－13，所以 m＝－16. 在 Rt△APC 中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.所以|AB|＝2＝2. 故当 m＝－16时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为 2. 22．（ 12 分）椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线 x＋y＝1 交于 P、Q 两点，且 OP⊥OQ，其中 O 为坐标原点． (1)求 1a2＋ 1b2的值； (2)若椭圆的离心率 e 满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围． 22 答案 (1)2 (2)[，] 解析(1)设 P(x1，y1)，Q(x2， y2)，由 OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0，∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入 上式， 得 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.① 又将 y＝1－x 代入x2a2＋y2b2＝1⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0. ∵Δ＞0，∴x1＋x2＝ 2a2a2＋b2，x1x2＝a2(1－b2)a2＋b2 ，代入①化简得 1a2＋ 1b2＝2. (2)∵e2＝c2a2＝1－b2a2，∴13≤1－b2a2≤12⇒12≤ b2a2≤23. 又由(1)知 b2＝ a22a2－1，∴12≤ 12a2－1≤23⇒54≤ a2≤32⇒52≤a≤62.∴长轴是 2a∈[，]．