2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练28 数列的概念与表示

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练28 数列的概念与表示

课时规范练28　数列的概念与表示 基础巩固组 ‎1.数列1,‎2‎‎3‎‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎‎5‎‎9‎,…的一个通项公式an=(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.n‎2n+1‎ B.n‎2n-1‎ C.n‎2n-3‎ D.‎n‎2n+3‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于(　　)‎ A.4 B.2 C.1 D.-2‎ ‎3.(2017江西上饶模拟)已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎4.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n-1,则数列{an}的一个通项公式为(　　)‎ A.an=n-1 B.an=(n-1)2‎ C.an=(n-1)3 D.an=(n-1)4‎ ‎5.(2017吉林市模拟改编)若数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,an=1-‎1‎an-1‎(n≥2,且n∈N+),则a2 018等于(　　)‎ A.-1 B.‎1‎‎2‎ C.1 D.2‎ ‎6.已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn=n2an(n∈N+),则a9=(　　)‎ A.‎1‎‎36‎ B.‎1‎‎45‎ C.‎1‎‎55‎ D.‎‎1‎‎66‎ ‎7.(2017宁夏银川二模)已知数列{an}满足a1=2,且a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎3‎+‎a‎3‎‎4‎+…+an-1‎n=an-2(n≥2),则{an}的通项公式为　　　　　. ‎ ‎8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)‎7‎‎8‎n,则当an取得最大值时,n=　　　　　. ‎ ‎9.已知各项都为正数的数列{an}满足an+1‎‎2‎-an+1an-2an‎2‎=0,且a1=2,则an=　　　　　. ‎ ‎10.(2017广东江门一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,Sn=‎1‎‎2‎an(an+1),n∈N+.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=‎1‎Sn,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎〚导学号21500730〛‎ 综合提升组 ‎11.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,理7)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)‎ A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n ‎12.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于(　　)‎ A.2n-1 B.n C.2n-1 D.‎‎3‎‎2‎n-1‎ ‎13.(2017山西晋中二模,理15)我们可以利用数列{an}的递推公式an=n,n为奇数,‎an‎2‎‎,n为偶数(n∈N+),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a64+a65=　　　　　. ‎ ‎14.(2017山西吕梁二模,理16)在数列{an}中,已知a2n=a2n-1+(-1)n,a2n+1=a2n+n,a1=1,则a20=　　　　　. ‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.(2017河南洛阳一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a‎2‎‎2‎)(a2a4-a‎3‎‎2‎)(a3a5-a‎4‎‎2‎)·…·(a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎)=(　　)‎ A.1 B.-1 ‎ C.2 017 D.-2 017〚导学号21500731〛‎ ‎17.已知数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(n∈N+),求数列{an}的通项公式.‎ 参考答案 课时规范练28　数列的概念 与表示 ‎1.B　由已知得,数列可写成‎1‎‎1‎‎,‎2‎‎3‎,‎‎3‎‎5‎,…,故通项为n‎2n-1‎.‎ ‎2.A　由Sn=2(an-1),得a1=2(a1-1),‎ 即a1=2,‎ 又a1+a2=2(a2-1),所以a2=4.‎ ‎3.D　由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.‎ ‎4.B　因为a1=0,an+1=an+2n-1,所以a2=0+1=1,a3=1+3=4,a4=4+5=9,故数列{an}的一个通项公式为an=(n-1)2.‎ ‎5.A　∵a1=‎1‎‎2‎,an=1-‎1‎an-1‎(n≥2,且n∈N+),∴a2=1-‎1‎a‎1‎=1-‎1‎‎1‎‎2‎=-1,‎ ‎∴a3=1-‎1‎a‎2‎=1-‎1‎‎-1‎=2,‎ ‎∴a4=1-‎1‎a‎3‎=1-‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,……依此类推,可得an+3=an,∴a2 018=a672×3+2=a2=-1,故选A.‎ ‎6.B　由Sn=n2an,得Sn+1=(n+1)2an+1,‎ 所以an+1=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n+2)an+1=nan,‎ 即an+1‎an‎=‎nn+2‎,‎ 所以a9=a‎9‎a‎8‎‎·‎a‎8‎a‎7‎·…·a‎2‎a‎1‎·a1=‎8‎‎10‎‎×‎7‎‎9‎×‎‎6‎‎8‎×…×‎2‎‎4‎‎×‎‎1‎‎3‎×1=‎2‎‎90‎‎=‎‎1‎‎45‎.‎ ‎7.an=n+1　∵a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎3‎+‎a‎3‎‎4‎+…+an-1‎n=an-2(n≥2),①‎ a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎3‎+‎a‎3‎‎4‎‎+…+ann+1‎=an+1-2(n≥2),②‎ ‎②-①得ann+1‎=an+1-an,整理得an+1‎an‎=‎n+2‎n+1‎,∴an+1‎n+2‎ann+1‎=1,又a‎1‎‎1+1‎=1,‎ ‎∴数列ann+1‎是以1为首项,1为公比的等比数列,即常数列1,∴an=n+1.‎ ‎8.5或6　由题意令an‎≥an-1‎,‎an‎≥an+1‎,‎ ‎∴‎‎(n+2)‎7‎‎8‎n≥(n+1)‎7‎‎8‎n-1‎,‎‎(n+2)‎7‎‎8‎n≥(n+3)‎7‎‎8‎n+1‎,‎ 解得n≤6,‎n≥5.‎∴n=5或n=6.‎ ‎9.2n　∵an+1‎‎2‎-an+1an-2an‎2‎=0,‎ ‎∴(an+1+an)(an+1-2an)=0.‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数,‎ ‎∴an+1+an>0,‎ ‎∴an+1-2an=0,‎ 即an+1=2an(n∈N+),‎ ‎∴数列{an}是以2为公比的等比数列.∵a1=2,∴an=2n.‎ ‎10.解 (1)a1=S1=‎1‎‎2‎a1(a1+1),a1>0,解得a1=1.‎ 任意n∈N+,an+1=Sn+1-Sn=‎1‎‎2‎an+1(an+1+1)-‎1‎‎2‎an(an+1),‎ 移项整理并因式分解得(an+1-an-1)(an+1+an)=0,‎ 因为{an}是正项数列,‎ 所以an+1+an>0,‎ 所以an+1-an-1=0,an+1-an=1.‎ 所以{an}是首项a1=1、公差为1的等差数列,所以an=n.‎ ‎(2)由(1)得Sn=‎1‎‎2‎an(an+1)=‎1‎‎2‎n(n+1),bn=‎1‎Sn‎=‎2‎n(n+1)‎=‎2‎n-‎‎2‎n+1‎,Tn=b1+b2+…+bn=‎2‎‎1‎‎-‎‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎+…+‎2‎n‎-‎‎2‎n+1‎‎=‎2‎‎1‎‎-‎‎2‎n+1‎=‎‎2nn+1‎.‎ ‎11.C　∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,‎ ‎∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,‎ ‎∴an+6=an.‎ 则S2 017=S336×6+1=336×(a1+a2+…+a6)+a1=336×0+m=m.‎ ‎12.D　由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N+),‎ ‎∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),‎ 两式相减,得2an=3an-1(n≥2),‎ 则anan-1‎‎=‎‎3‎‎2‎(n≥2).‎ 又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,‎ ‎∴a1=1.‎ ‎∴数列{an}是首项为1,公比为‎3‎‎2‎的等比数列.∴an=‎3‎‎2‎n-1‎.‎ ‎13.66　由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…‎ ‎∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.‎ ‎14.46　由a2n=a2n-1+(-1)n,得a2n-a2n-1=(-1)n,‎ 由a2n+1=a2n+n,得a2n+1-a2n=n,‎ ‎∴a2-a1=-1,a4-a3=1,a6-a5=-1,…,a20-a19=1,10个式子之和为0,‎ a3-a2=1,a5-a4=2,a7-a6=3,…,a19-a18=9,9个式子之和为‎9(1+9)‎‎2‎=45.‎ 累加得a20-a1=45.又a1=1,故a20=46,故答案为46.‎ ‎15.2n-1　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),‎ 即an=2an-1+1,‎ ‎∴an+1=2(an-1+1).‎ 又a1=S1=2a1-1,∴a1=1.‎ ‎∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·2n-1=2n,‎ ‎∴an=2n-1.‎ ‎16.B　∵a1a3-a‎2‎‎2‎=1×2-12=1,a2a4-a‎3‎‎2‎=1×3-22=-1,a3a5-a‎4‎‎2‎=2×5-32=1,…,‎ a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎=1.‎ ‎∴(a1a3-a‎2‎‎2‎)(a2a4-a‎3‎‎2‎)(a3a5-a‎4‎‎2‎)·…·(a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎)=11 008×(-1)1 007=-1.‎ ‎17.解 ∵an+1=2an+3n-1(n∈N+),①‎ a1=-1,‎ ‎∴a2=0.‎ 当n≥2时,an=2an-1+3n-4,②‎ 由①-②可得an+1-an=2an-2an-1+3,‎ 即an+1-an+3=2(an-an-1+3),‎ ‎∴数列{an-an-1+3}为等比数列,首项为4,公比为2.‎ ‎∴an-an-1+3=4×2n-2,‎ ‎∴an-an-1=2n-3.‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-3+2n-1-3+…+22-3-1=‎4(‎2‎n-1‎-1)‎‎2-1‎-3(n-1)-1=2n+1-3n-2.‎