【推荐】专题04 大题好拿分（提升版）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金30题

【推荐】专题04 大题好拿分（提升版）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金30题

1.已知命题 1: 1 32 xp   ； 2 2: 2 1 0,( 0)q x x m m     若 p 是 q 的充分非必要条件，试求实数 m 的取值范围． 【解析】命题 p 中不等式可化为 3 9x － 可化为：  1 1 0m x m m  － ＋ ∵ p 是 q 的充分非必要条件∴ p  q ∴ p ∴ 1 9 1 3 m m       解得 4m  ∴实数 m 的范围是 0 4m  2.已知 p：方程方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；q：实数 m 满足 m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0 且￢ q 是￢p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 3．已知椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   的离心率为 1 2 ,点 1 2,F F 是椭圆 E 的左、右焦点, 过定点  0,2Q 的动直线与椭 圆 E 交于 ,A B 两点, 当 1, ,F A B 共线时, 2F AB 的周长为. （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设弦 AB 的中点为 D ,点  0,E t 在 y 轴上, 且满足 DE AB ,试求的取值范围. 【解析】（1）由题意得 2 2 2 1 ,4 4 8 a b a a      解得 2, 3a b  ，所以椭圆 E 的标准方程为 2 2 14 3 x y  . （2）当直线的斜率不存在时，直线即为 y 轴，此时直线 AB 与直线 DE 重合，即 DE AB 不成立. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 2y kx  ，代入 2 2 14 3 x y  ,消去 y，得 2 2(3 4 ) 16 4 0,k x kx    【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题通常经常采用“设而不求”方法，“设而不求”就是在解题过程中根 据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系， 这种方法能够达到一种“化难为易，化繁为简”的效果．方法是：设直线 y kx m  与椭圆 2 2 1mx ny  的 交点为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由直线方程与椭圆方程联立后消元得一元二次方程，由韦达定理得 1 2 1 2,x x x x 或 1 2 1 2,y y y y ，然后计算弦长或面积等． 4.如图，四边形 ABCD 为正方形， PD  平面 ABCD ， 030DPC  ， AF PC 于点 F ， / /FE CD ， 交 PD 于点 E ． （1）证明：CF  平面 ADF ； （2）求二面角 D AF E  的余弦值． 3 3 3( ,0,0), ( , ,0), ( 3,0,0), (0,1,0)4 4 4E F P C ， 5.如图，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是梯形， BC AD , 1 2BC AD ， BE AF , 1 2BE AF ， H 是 FD 的中点． H F E D CB A （1）证明：CH  平面 ABEF ； （2）判断 C 、 D 、 E 、 F 四点是否共面，并说明理由． 【解析】 G H F E D CB A 6．椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的上顶点为 B ，过点 B 且互相垂直的动直线，与椭圆的另一个交点分别 为 P ，Q ，若当的斜率为 2 时，点 P 的坐标是 5 4( , )3 3   . （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 PQ 与 y 轴相交于点 M ，设 PM MQ  ，求实数  的取值范围. 【解析】（1）的斜率为 2 时，直线的方程为 2y x b  ， 【名师点睛】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定 义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题. 7．平面 PAD 平面 ABCD， ABCD为正方形， PAD 是直角三角形，且 2 ADPA ， GFE ,, 分别 是线段 CDPDPA ,, 的中点． （1）求证： PB //平面 EFG ； （2）在线段CD 上是否存在一点 Q ，使得点 A 到平面 EFQ 的距离为 5 4 ，若存在，求出 DQ 的值；若不存 在，请说明理由． 【解析】（1）取 AB 中点 H ，连接 HGEH , ， HGFE ,,, 分别是 ABCDPDPA ,,, 中点 //EF AD ， //AD GH //EF GH ,,,, HGFE 四点共面 又 HE, 分别为 ABPA, 的中点 //EH PB ，而 EH 平面 EFG ，所以 //PB 平面 EFG （2）在线段 AB 上取 AQ DQ a ‘ ，则 2 1112 1 AEFS ， 212 1 ' aaSS EFQEFQ   由 3 4 5 4 23 112 1 3 1 5 4 3 1 3 1 2   aaaSHESVV EFQAEFEFQAAEFQ 即存在一点Q ，使 得点 A 到平面 EFQ 的距离为 5 4 ，此时 3 4DQ . 8.（本小题 12 分）如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC＝60°, PA＝AB＝BC , E 是 PC 的中点． C A P B D E (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE⊥平面 PCD； (3)求二面角 A-PD-C 的正弦值． (3)解：过点 E 作 EM⊥PD，垂足为 M，连接 AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM， 【方法点睛】 (1)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是 平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面 与面面关系的相互转化. (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面 的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面 角. 9．已知圆 C 的半径为 2，圆心在轴正半轴上，直线3 4 4 0x y   与圆 C 相切 （1）求圆 C 的方程; （2）过点 (0, 3)Q  的直线与圆C 交于不同的两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 且为 1 2 1 2 3x x y y  时，求： AOB 的面 积. 【解析】（I）设圆心为 ( ,0),( 0)C a a  ，则圆 C 的方程为 2 2( ) 4x a y   因为圆 C 与3 4 4 0x y   相切 所以 2 2 | 3 4 | 2 3 4 a    解得： 142 3a a  或 （舍） 所以圆 C 的方程为： 2 2( 2) 4x y   4 分 （II）依题意：设直线 l 的方程为： 3y kx  ∴ 1 1 3 2 3| | 14 72 2 2 2AOBS AB h       10.如图，多面体 ABCDS 中，面 ABCD 为矩形， SD AD ，且 , 1, 2, 3SD AB AD AB SD    ． （1）求证：CD  平面 ADS ； （2）求 AD 与 SB 所成角的余弦值； （3）求二面角 A SB D  的余弦值． （3）∵ SAD 中 SD AD ，且 SD AB ， ∴ SD  面 ABCD ， ∴面 SDB  面 ABCD ， BD 为面 SDB 与面 ABCD 的交线， ∴过 A 作 AE DB 于 E ，∴ AE  面 SDB ， 又过 A 作 AF SB 于 F ，连接 EF ，从而得： EF SB ， ∴ AFE 为二面角 A SB D  的平面角． 在矩形 ABCD 中，对角线  22 2 5BD a a a   ， ∴在 ABD 中， 2 2 5 55 AB CD a aAE aBD a     ， 由（2）知在 Rt SBC 中，    2 27 2 8SB a a a   ， 而 Rt SAD 中， 2SA a ，且 2AB a ，∴ 2 2 2SB SA AB  ， ∴ SAB 为等腰直角三角形且 SAB 为直角， ∴ 2 22AF AB a  ， ∴ 2 5 105sin 52 aAEAFE AF a     ， 所以所求的二面角的余弦为 15 5 ． 11.如图，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是 PA 的中点，G 为 AOC 的重心，AB 是圆O 的直径，且 2 2AB AC  ． （1）求证： / /QG 平面 PBC ； （2）求G 到平面 PAC 的距离． ∴平面 / /QMO 平面 PBC ． 又G 为 AOC 的重心，∴ 1 3 3 6GM OM  ． 故G 到平面 PAC 的距离为 3 6 ． 12．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点 D 在线段 BB1 上，且 BD= ， A1C∩AC1=E． （Ⅰ）求证：直线 DE 与平面 ABC 不平行； （Ⅱ）设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为θ，若 cosθ= ，求 AA1 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面 ADC1∩平面 ABC=l，求直线 l 与 DE 所成的角的余弦值． 【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz，设 AA1=h， 则 ． 解得 ． ∴ ． （Ⅲ）在平面 BCC1B1 内，分别延长 CB、C1D，交于点 F，连结 AF， 则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ABC 的交线． ∵BD∥CC1， ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 由（Ⅱ）知， ，故 ， ∴ ． ∴直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ． 13．已知以点 C 2,t t      (t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点 O、B，其中 O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值； (2)设直线 2x＋y－4＝0 与圆 C 交于点 M、N，若 OM＝ON，求圆 C 的方程. ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5， 由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 时，直线 2x＋y－4＝0 到圆心的距离 d>r，此时不满足直线与圆相交， 故舍去. ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 14．椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，右焦点到直线 6 0x y   的距离为 2 3 ，过  1,0 M 的直线交椭圆于 BA, 两点. (Ⅰ) 求椭圆的方程； （Ⅱ） 若直线交轴于 N , 7 5NA NB uur uuur   ,求直线的方程. 【解析】(Ⅰ)设右焦点为 0c( , ) ，则 6 2 3 6 2 6 6 3 6 2 c c c c| | , , ( )       或 舍去 ……2 分 又离心率 2 23 6 3 2 2 22 2 c a b a ca a, , ,      ， 由①③得， 2 12 2 5 7 4 1 4 1y yk k,    代入④整理得 4 28 9 0k k   ，于是 2 1k  ，此时②的断别式 0  ，于是直线的方程是 1y x   . 15．如图，ABCD 为梯形， PD  平面ABCD，AB//CD， = ADC=90BAD  o 2 2 , 3 , 3DC AB a DA a PD a    ，E 为BC 中点 （I）求证：平面PBC  平面PDE； （II）线段 PC 上是否存在一点 F，使 PA//平面 BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析 说明理由. 【解析】证明:(Ⅰ) 连结 BD O F 90BAD ADC     ， , 3AB a DA a  所以 CPA 中, 1 3AO AC 而 1 3PF PC 所以 //OF PA 而OF  平面 BDF PA  平面 BDF 所以 //PA 平面 BDF 16.设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2: 1(1 0)yC x bb     的左、右焦点，过 1F 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 2| |AF ， | |AB ， 2| |BF 成等差数列. (1)求| |AB ； （2）若直线的斜率为 1，椭圆 C 方程. 17．已知动点 P 与平面上两定点 ( 1,0), (1,0)A B 连线的斜率的积为定值 2 . （1）试求动点 P 的轨迹方程 C. （2）设直线 : 1l y x  与曲线 C 交于 M、N 两点，求|MN| 【解析】（1）解：设点 ( , )P x y ，则依题意有 21 1 y y x x     ， 整理得 2 2 1.2 yx   由于 1x   ， ∴求得的曲线 C 的方程为 2 2 1.2 yx   ( 1x   ) （2）由 2 2 21, :3 2 1 0.2 1. y x y x x y x          消去 得 （3）设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ,则 1 2 1 2 2 1,3 3x x x x      1 2 4 1 4| | 2 | | 2 4 ( ) 2,9 3 3MN x x        18．已知 2 0: 10 0 xp x x          ，  : 1 , 0q x m x m m     ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．） ∴ m 的取值范围是 9m m  点评： ,p q p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 19．如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∠ACB＝90°，E 是棱 CC1 的中点，F 是 AB 的中点，AC ＝BC＝1，AA1＝2. (1)求证：CF∥平面 AB1E； (2)求三棱锥 C－AB1E 在底面 AB1E 上的高． 【解析】(1)证明：取 AB1 的中点 G，连接 EG，FG， ＝ 1 3 × 1 1 12      ×1＝ 1 6 . ∵AE＝EB1＝ 2 ，AB1＝ 6 ，∴S△AB1E＝ 3 2 ， ∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥 C－AB1E 在底面 AB1E 上的高为 1 13 3 3AB E VC AB E S － ＝ . 20.已知圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y     ,问是否存在直线 :l y x b  与圆 C 交于 ,A B 两点，且满足 OA OB  （O 为坐标原点）．若存在，求出的方程；若不存在，试说明理由． 【解析】设存在满足条件的直线，