数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二4月月考（2018-04）

数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二4月月考（2018-04）

牡一中2016级高二学年下学期4月月考 数学理科试题 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．等于（ ）‎ ‎ A．990 B．165 C．120 D．55‎ ‎3．二项式的展开式的常数项为第（ ）项 A． 17 B．18 C．19 D．20 ‎ ‎4．设随机变量服从B（6，），则P（=3）的值是（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．随机变量服从二项分布～，且，则等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 0‎ ‎6．某厂生产的零件外直径ξ~N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为（　　）‎ A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常,下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 ‎7．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（　　）‎ A．0.59 B．0.54 C．0.8 D．0.15‎ ‎8.设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C ．1 D．2‎ ‎9.①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，，…，中的一个点；‎ ‎②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；‎ ‎③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；‎ ‎④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( )‎ A． ‎①④ B．②④ C．①③ D．②③‎ 10. 过曲线图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，‎ 则当△ x=0.5时割线的斜率为（　　） ‎ A． ‎ B． C．1 D．‎ ‎11.计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎12.样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为( )‎ A． B． C． D．不能确定 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知 ，则 _________．‎ ‎14.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.‎ ‎15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．‎ ‎16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球。乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和，表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎① ；②P(B|)=；‎ ‎③事件B与事件相互独立；④两两互斥的事件；‎ ‎⑤P(B)的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分10分）已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）求a1＋a2＋a3＋……＋an的值．‎ ‎18.（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．‎ ‎（Ⅰ）求袋中白球的个数；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．‎ ‎19.（本题满分12分） 某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据： 编号 性别 投篮成绩 ‎ 3‎ 男 ‎90‎ ‎7‎ 女 ‎60‎ ‎11‎ 男 ‎75‎ ‎15‎ 男 ‎80‎ ‎19‎ 女 ‎85‎ ‎23‎ 男 ‎80‎ ‎27‎ 男 ‎95‎ ‎31‎ 男 ‎80‎ ‎35‎ 男 ‎80‎ ‎39‎ 女 ‎60‎ ‎43‎ 男 ‎75‎ ‎47‎ 女 ‎55‎ 甲抽取的样本数据 ‎ 编号 性别 投篮成绩 ‎1‎ 男 ‎95‎ ‎8‎ 男 ‎85‎ ‎10‎ 男 ‎85‎ ‎17‎ 男 ‎80‎ ‎23‎ 男 ‎60‎ ‎24‎ 男 ‎90‎ ‎27‎ 男 ‎80‎ ‎31‎ 女 ‎80‎ ‎35‎ 女 ‎65‎ ‎37‎ 女 ‎35‎ ‎41‎ 女 ‎60‎ ‎46‎ 女 ‎75‎ 乙抽取的样本数据 （Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 ‎12‎ （Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ 20． ‎（本题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：‎ 年　份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ＝，＝－．‎ ‎21.（本题满分12分）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估 计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，‎ 则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，‎ 的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，‎ 以表示落入中的点的数目．‎ ‎（I）求的均值；‎ ‎（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值 与实际值之差在区间内的概率．‎ 附表：‎ ‎22.（本题满分12分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25)‎ ‎[25，35)‎ ‎[35，45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65)‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值； ‎ ‎（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.‎ 月考答案 ‎1——6 BBCABA 7——12 AADBAA ‎13.1或3 14.185 15 0.75 16.（2） （4）‎ ‎17.17（Ⅰ）由得： ‎ n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 ·‎ 即（n－5）（n－6）＝90 ‎ 解之得：n＝15或n＝－4（舍去）．‎ ‎∴ n＝15．‎ ‎（Ⅱ）当n＝15时，由已知有：‎ ‎（1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15， ‎ 令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1，‎ 令x＝0得：a0＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2． ‎ ‎18.（Ⅰ）设袋中有白球n个，则， 解得n=6．‎ ‎（Ⅱ）因为,所以随机变量X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 得.‎ ‎19、（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．‎ X的所有可能取值为．……………………………………………………1分 所以，，．…4分 故的分布列为 ‎ …………………………………………5分 ‎∴． ……6分 ‎（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：‎ 优秀 非优秀 合计 男 ‎6‎ ‎1‎ ‎7‎ 女 ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ 合计 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎…………7分 的观测值3.841，……………………………9分 ‎ 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显 差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………12分 ‎20.‎ ‎【解析】(1)由已知得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，‎ (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，‎ (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，‎ ＝＝＝0.5，＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，‎ 所求回归方程为＝0.5t＋2.3．‎ ‎(2)由(1)知，＝0.5＞0，‎ 故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎21依题意知．‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）依题意所求概率为，‎ ‎．‎ ‎22.解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：．…………1分 ‎ 被调查者年龄的平均约为：…2分 ‎（Ⅱ）依题意得：………………………………………………………3分 ‎ ………………………………………6分 所以的分布列是：‎ ‎[]‎ ‎[来源]‎ ‎ 所以的数学期望． ……………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）,其中. …………………………………9分 ‎，…………………………………10分 当即时，；‎ 当即时，.……………11分 即；.‎ 故有：取得最大值时. ………………………………………12分