浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题5平面向量+第35练平面向量的数量积

浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题5平面向量+第35练平面向量的数量积

第35练 平面向量的数量积 ‎[基础保分练]‎ ‎1.已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为(　　)‎ A.－2B.－1C.1D.2‎ ‎2.(2019·绍兴模拟)已知不共线的两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|2a－b|，则(　　)‎ A.|a|<2|b| B.|a|>2|b|‎ C.|b|<|a－b| D.|b|>|a－b|‎ ‎3.(2019·金华一中模拟)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)‎ A.B.C.D.4‎ ‎4.(2019·学军中学模拟)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)‎ A.1＋B.1－C.－1D.1‎ ‎5.平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝－6，＝，则·的值为(　　)‎ A.10B.12C.14D.16‎ ‎6.(2019·杭州模拟)在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设·＝m，·＝n.若AB＝，EF＝1，CD＝，则(　　)‎ A.2m－n＝1 B.2m－2n＝1‎ C.m－2n＝1 D.2n－2m＝1‎ ‎7.(2019·丽水模拟)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论：①·＝0；②·＝－；③＋＝－；‎ ‎④|－|＝.其中正确结论的个数为(　　)‎ A.4B.3C.2D.1‎ ‎8.已知正三角形ABC的边长为2，重心为G，P是线段AC上一点，则·的最小值为(　　)‎ A.－B.－2C.－D.－1‎ ‎9.已知平面向量a，b(a≠0，b≠a)满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为150°，则|a|的取值范围是________.‎ ‎10.(2019·浙江金丽衢十二校联考)在同一个平面内，向量，，的模分别为1,2,3，与的夹角为α，且cosα＝，与的夹角为60°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋3n＝________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.(2019·温州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，且对任意实数x，y，|a－xb|的最小值为，|b－ya|的最小值为，则|a＋b|等于(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎2.已知点O在△ABC所在平面内，且AB＝4，AO＝3，(＋)·＝0，(＋)·＝0，则·取得最大值时线段的长度是(　　)‎ A.3B.4C.D. ‎3.已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)‎ A.最大值为8 B.是定值6‎ C.最小值为2 D.与P的位置有关 ‎4.(2019·浙江温州九校联考)已知a，b是不共线的两个向量，a·b的最小值为4，若对任意m，n∈R，|a＋mb|的最小值为1，|b＋na|的最小值为2，则|b|的最小值为(　　)‎ A.2B.4C.2D.4 ‎5.(2019·镇海中学模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则·(－)的值为________.‎ ‎6.在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，||＝2，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足||＝1，则·(＋)的取值范围是____________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.B　2.A　3.C　4.A　5.D　6.D　7.B　8.C　9.(0,2]‎ 解析　由题意可知向量a，b不共线，‎ 则|b|2＝|b－a|2＋|a|2＋2|b－a||a|·‎ cos 150°，‎ 所以|b－a|2－|a||b－a|＋|a|2－1＝0，‎ 由3|a|2－4×(|a|2－1)≥0，且平面向量a为非零向量得0<|a|≤2.故答案为(0,2].‎ ‎10.9‎ 解析　由＝m＋n得||2＝m·＋n·，‎ 即32＝m×1×3cosα＋n×2×3cos60°，化简得m＋3n＝9.‎ 能力提升练 ‎1.C　[因为对任意实数x，‎ ‎|a－xb|＝ ‎＝ ‎＝的最小值为，所以＝.①‎ 因为对任意实数y，‎ ‎|b－ya|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ 的最小值为，‎ 所以＝，②‎ 联立①②，解得|b|＝2，a·b＝±1，‎ 当a·b＝1时，|a＋b|＝ ‎＝＝，‎ 当a·b＝－1时，|a＋b|＝ ‎＝＝，故选C.]‎ ‎2.C　[由(＋)·＝0，(＋)·，易得O为△ABC的外心，且圆O半径为3，‎ 过圆上一点引圆的切线且与AB垂直相交于E点，当C为切点时，由数量积几何意义不难发现·取得最大值，取AB的中点为F，连接OF，此时，CE＝OF＝＝，‎ BE＝EF－BF＝OC－BF＝1，‎ ‎∴BC＝＝.]‎ ‎3.B　[设＝a，＝b，＝t，‎ 则＝－＝b－a，‎ a2＝4＝b2，a·b＝2×2×cos 60°＝2，‎ ＝＋＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，‎ ＋＝a＋b，‎ ·(＋)＝[(1－t)a＋tb]·(a＋b)‎ ‎＝(1－t)a2＋[(1－t)＋t]ab＋tb2‎ ‎＝(1－t)×4＋2＋t×4＝6，故选B.]‎ ‎4.B　[设a，b的夹角为θ，则0<θ<，‎ 则由|a＋mb|的最小值为1，|b＋na|的最小值为2，可得|a|sin θ＝1，|b|sin θ＝2，‎ 两式相乘可得|a||b|sin2θ＝2，‎ 即|a||b|＝，(*)‎ 而a·b＝|a||b|cos θ≥4，结合(*)可得≥4，‎ 所以(2cos θ－)(cos θ＋2)≥0，‎ 解得cos θ≥或cos θ≤－(舍)，‎ ‎∴sin θ≤，则|b|＝≥4，故选B.]‎ ‎5.0‎ 解析　连接AC，取AC的中点E，连接ME，NE，则ME，NE分别为△ADC，△CAB的中位线，所以＝，＝，所以＝＋＝(＋).因为与共线，‎ 所以＝λ(λ∈R)，‎ 故·(－)＝λ·(－)‎ ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝(2－2)＝0.‎ ‎6.[－2，2]‎ 解析　根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A(0,2)，B(2,0)，C(0,0)，‎ 由||＝1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，‎ 设P(2＋cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)，‎ 则＝(cos θ，sin θ)，又＋＝(2,2)，‎ ‎∴·(＋)＝2cos θ＋2sin θ ‎＝2sin，‎ 当θ＋＝，即θ＝时，·(＋)取得最大值2，‎ 当θ＋＝，即θ＝时，·(＋)取得最小值－2，‎ ‎∴·(＋)的取值范围是[－2，2].‎