高三数学（理数）总复习练习专题二 函数概念及其基本性质
1．(2015·课标Ⅱ，5，易)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】 C ∵log212＞1，
∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6.
∴原式＝1＋log24＋6＝9.
2．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f
(ax)(a>1)，则( )
A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【答案】 B ①当x<0时，∵a＞1，∴x>ax，
∴f(x)－f(ax)>0，
∴sgn[g(x)]＝1.
②当x＝0时，x＝ax，
f(x)－f(ax)＝0.
∴sgn[g(x)]＝0.
③当x>0时，∵a＞1，∴ax>x，
∴f(x)－f(ax)<0.
∴sgn[g(x)]＝－1.
∴sgn[g(x)]＝
∴sgn[g(x)]＝－sgn x.
3．(2015·山东，10，中)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0，1]
C. D．[1，＋∞)
【答案】 C 令f(a)＝t.则由f(f(a))＝2f(a)得
f(t)＝2t.由f(x)＝可知
t≥1.
∴f(a)≥1⇒或⇒≤a<1或a≥1⇒a≥.故选C.
4．(2015·浙江，7，难)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
【答案】 D 方法一：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|，
∴f(x2＋2x)＝＝.
∴存在函数f(x)＝，对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋1|.
方法二：A，B，C均举出反例不符合函数的概念，而D项，f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝，符合题意．
5．(2015·湖北，10，难)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】 B 由题可知：
当n＝1时，1≤t<2.
当n＝2时，2≤t2<3，即≤t<满足条件．
当n＝3时，3≤t3<4，即≤t<满足条件．
当n＝4时，4≤t4<5，即≤t<满足条件．
当n＝5时，5≤t5<6，即≤t<，而>.所以正整数n的最大值为4.
6．(2015·浙江，10，易)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
【解析】 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，
当x<1时，x2＋1≥1，
∴lg(x2＋1)≥0.
综上，f(x)min＝2－3.
【答案】 0 2－3
7．(2015·山东，14，中)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
【解析】 当0
1时，解得b＝－1，
∴＝0，无解．综上a＋b＝－.
【答案】 －
1．(2014·江西，2，易)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】 C 要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或x>1，故选C.
2．(2013·陕西，1，易)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为( )
A．[－1，1] B．(－1，1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】 D 由1－x2≥0得－1≤x≤1，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
3．(2012·江西，3，易)若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2
C．1 D．0
【答案】 B ∵f(10)＝lg 10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.
4．(2014·江西，3，易)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】 A 由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.
5．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
【答案】 C 选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；
选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；
选项C，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；
选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．
6．(2014·福建，7，中)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】 D 方法一：由x>0得，x2＋1>1，当x≤0时，cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－1，＋∞)，选D.
方法二(数形结合法)：作出f(x)的图象如图所示，可排除A，B，C，故D正确．
7．(2014·上海，18，中)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A．[－1，2] B．[－1，0]
C．[1，2] D．[0，2]
【答案】 D ∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
8．(2014·湖北，14，难)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．
(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；
(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
【解析】 设P(a，f(a))，Q(b，－f(b))，
则直线PQ的方程为y－f(a)＝(x－a)．
令y＝0得c＝.
(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)；
(2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0)．
【答案】 (1) (2)x(或填(1)k1 (2)k2x，其中k1，k2为正常数均可)
考向1 求函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x定义域均为R.
(6)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
(1)(2014·山东，3)f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
(2)(2015·河南郑州一模，13)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，必须
由①得(log2x)2>1，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或01和log2x<
－1；解题(2)时易误认为0≤x≤2，从而0≤2x≤4，出现0≤x<1或19
(2)(2013·安徽，14)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
【解析】 (1)由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，解得∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.由00时，2x>1，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
3．(2015·河北唐山统考，5)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
【答案】 C 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，
∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
4．(2014·山东莱芜一模，8)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B 要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x＜2.故选B.
5．(2014·福建厦门一模，7)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是( )
A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4
【答案】 C 当x∈[－1，2]时，由3－x2＝1⇒x＝或－(舍去)；
当x∈(2，5]时，由x－3＝1⇒x＝4.
综上所述，f(x)＝1的解为或4.
6．(2015·山东青岛质检，9)设函数f(x)＝那么f(2 015)＝( )
A．27 B．0 C．3 D．1
【答案】 B 由题意知x≥5，f(x)＝f(x－5)．
令x－5＝t，∴x＝5＋t，∴f(5＋t)＝f(t)，
∴f(x＋5)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝5，
∴f(2 015)＝f(403×5＋0)＝f(0)，
而当0≤x＜5时，f(x)＝x3，
∴f(0)＝03＝0，故f(2 015)＝0，故选B.
7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[－2，2]
【答案】 D 依题意可得
或
解得a∈[－2，2]，故选D.
8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C 因为x0∈A，即0≤x0<，所以f(x0)＝x0＋，≤x0＋＜1，即≤f(x0)＜1，即f(x0)
∈B，所以f(f(x0))＝2[1－f(x0)]＝1－2x0.因为f(f(x0))∈A，
所以0≤1－2x0＜，
解得＜x0≤.又因为0≤x0＜，
所以＜x0＜，故答案为C.
思路点拨：解答本题关键是要分清x0∈A时，f(x0)的取值范围，以决定如何求f(f(x0))的值．
9．(2015·四川德阳模拟，12)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
【解析】 在f(x)＝2f·－1中，用代替x，
得f＝2f(x)－1，①
将①式代入f(x)＝2f－1中，
得f(x)＝4f(x)－2－1，
故f(x)＝＋.
【答案】 ＋
10．(2015·陕西榆林二模，12)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
【解析】 由题意知，
或
解得－4≤x≤0或00，则f(x)＝|(ax－1)x|＝－ax2＋x为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝<0，故在区间(0，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为增函数．
必要性：当a≠0时，f＝0，f(0)＝0，由f(x)在(0，＋∞)上为增函数知，<0，即a<0；当a＝0时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为增函数，故a≤0.
综上，“a≤0”为“f(x)在(0，＋∞)上为增函数”的充分必要条件．
5．(2011·江苏，2，易)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【解析】 要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－.而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当
x>－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是.
【答案】
6．(2011·上海，20，14分，中)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
解：(1)(定义法)a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，令x10⇒a(2x1－2x2)<0，
3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
即a>－2b.
当a<0，b>0时，>－，
则x>log；
当a>0，b<0时，<－，
则xf(x2)，
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y＝x2，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0]时是减函数．
2．函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(1)(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
(2)(2014·天津，4)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】 (1)A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；C项，函数y＝2－x＝在R上为减函数，故不符合；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．
(2)因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y＝x2－4的单调减区间，结合函数的定义域x2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)．
【答案】 (1)A (2)D
判断函数单调性(单调区间)的常用方法
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．
(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：
函数
增减情况
内函数t＝φ(x)
增
增
减
减
外函数y＝f(t)
增
减
增
减
y＝f(φ(x))
增
减
减
增
y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)．
(5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性．
(1)(2011·课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
(2)(2015·河南洛阳二模，6)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)(2015·福建福州一模，6)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
(3)(2012·上海，7)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a
的取值范围是________．
【思路导引】 (1)利用图象的对称性，把问题转化为同一单调区间内比较大小；(2)由f(1＋x)＝f(－x)得函数f(x)关于x＝对称，进而求得f(x)在各区间的单调性，可得函数f(x)的最大值与最小值；(3)思路一：先求出f(x)的单调增区间，再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路二：求出f(x)的导数，利用f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的范围．
【解析】 (1)根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.
(2)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
(3)方法一：∵f(x)＝e|x－a|＝
∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，
则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.
方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝
当x≥a时，f(x)＝ex－a，f′(x)＝ex－a.
由题意知f′(x)＝ex－a≥0在[1，＋∞)上是恒成立的，此结论显然成立．
∴a≤xmin，∴a≤1.
当x＜a时，f′(x)＝－ex－a＜0恒成立，不符合题意．
综上所述，a≤1.
【答案】 (1)D (2)C (3)(－∞，1]
1.比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
2．含“f”号不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．
3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f′(x)＝0在A的任意子区间不恒成立，若求得a≥2，则需检验a＝2时是否符合题意．
(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
【解析】 由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x－1|<2，解得－10.
∴f(x)在(0，1)上是增函数，
∴f(0)2时，h(x)＝3－x是减函数，则h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
【答案】 1
7．(2015·河南濮阳模拟，16)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．
给出下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
【解析】 对于①，若f(x)＝x2，则f(x1)＝f(x2)时x1＝x2，或x1＝－x2，故①错误；
对于②，f(x)＝2x是R上的增函数，当f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，故②正确；
对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f(x)为单函数，x1，x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2
)为真命题，故③正确；
对于④，假若f(x1)＝f(x2)时，有x1≠x2，这与单调函数矛盾，故④正确．
【答案】 ②③④
8．(2014·河北石家庄质检，19，12分)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式f＜f；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1]．∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
由已知得＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x＜－1.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
1．(2015·安徽，2，易)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
【答案】 A 由选项可知，A，D为偶函数，但D中函数无零点．
2．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
【答案】 D A中函数y＝为偶函数；B中f(－x)＝－x－＝－f(x)，故为奇函数；C中f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，故为偶函数；D中f(－x)＝－x＋e－x，为非奇非偶函数，故选D.
3．(2015·课标Ⅰ，13，易)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
【解析】 由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋)＝xln(x＋)，
即xln(x＋)＋xln(－x＋)＝0，
∴xln a＝0.
又∵x不恒为0，∴ln a＝0，a＝1.
【答案】 1
1．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】 C 若f(x)为奇函数，则|f(x)|为偶函数；若g(x)为偶函数，则|g(x)|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C正确．
2．(2013·山东，3，易)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】 A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
3．(2012·福建，7，中)设函数D(x)＝则下列结论错误的是( )
A．D(x)的值域为{0，1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
【答案】 C A显然正确．
D(x)＝当x∈Q时，－x∈Q，而D(x)＝D(－x)＝1；当x为无理数时，－x也为无理数，此时D(x)＝D(－x)＝0，∴对任意的x∈R，D(x)＝D(－x)，
∴B正确．不妨设a∈Q且a≠0，当x为有理数时，D(x＋a)＝D(x)＝1，当x为无理数时，D(x＋a)＝D(x)＝0，∴D(x)为周期函数，∴C不正确．∵x1＝1，D(1)＝1，x2＝2，D(2)＝1，∴D(x1)＝D(x2)，∴D(x)在定义域上不单调，故D正确，∴选C.
4．(2014·湖北，10，难)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B 因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；
当a20时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
【解析】 (1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，y＝x3与y＝2sin x为奇函数．
(2)令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.
(3)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
则|x－a|＝|x＋a|.∵x∈R，∴a＝0.
(4)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
∴f(x)＝
①当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5；
②当x＝0时，f(x)＞x无解；
③当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.
综上，不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5，0)∪(5，＋∞)．
【答案】 (1)C (2)C (3)0 (4)(－5，0)∪(5，＋∞)
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．
②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
(2)图象法
2．应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(1)(2011·湖北，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )
A．2 B. C. D．a2
(2)(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
(1)【答案】 B ∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，
∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝.故选B.
(2)【解析】 当x≥0时，由f(x)＝x2－4x<5，解得0≤x<5.因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)<5的解集为－50在[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
【答案】 C (利用数形结合和分类讨论的思想求解)f(x)的图象如图．
由图象可知，不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为x∈(－1，0)∪(1，3)．
5．(2015·河南郑州调研，8)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则( )
A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(－1)
C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5)
【答案】 A 函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是单调减函数．
由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，5]上是减函数．
选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)．
选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)．
同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)．
6．(2015·湖北名校联考，7)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1.若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a
>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，2)
【答案】 D ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称．
∵对∀x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，
∴f(x)是周期函数，且周期为4.
∵当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，
∴f(x)在区间(－2，6]内的图象如图所示，
∴在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有且只有三个不同的交点，
则
解得a∈(，2)．
思路点拨：解答本题先根据条件求得f(x)是周期为4的偶函数，再将方程根的个数转化为两函数图象交点的个数．
7．(2014·江苏徐州二模，10)设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a＝________.
【解析】 方法一：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立，
即＋＝＋，
(a2－1)e2x＋1－a2＝0对任意的x恒成立，
∴解得a＝1.
方法二：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
∴·＋ae＝＋，
e＋＝0，
∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.
又a＞0，∴a＝1.
经验证，当a＝1时，有f(－x)＝f(x)，
∴a＝1.
【答案】 1
8．(2015·河北保定三模，15)若偶函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则f ＝________．
【解析】 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，
∴f ＝f ＝f
＝f ＝log2＝－1.
【答案】 －1
9．(2014·吉林长春第一次调研，16)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如，[1.5]＝1，[－1.5]＝
－2.若f(x)＝sin(x－[x])，则下列结论中：
①f(x)为奇函数；②f(x)是周期函数，周期为2π；③f(x)的最小值为0，无最大值；④f(x)无最小值，最大值为sin 1.其中说法正确的序号是________．
【解析】 f(1.5)＝sin(1.5－[1.5])
＝sin 0.5，f(－1.5)
＝sin(－1.5－[－1.5])
＝sin 0.5，
则f(1.5)＝f(－1.5)，故①错；f(x＋1)＝sin(x＋1－[x＋1])＝sin(x＋1－[x]－1)＝sin(x－[x])＝f(x)，∴T
＝1，故②错；令g(x)＝x－[x]，则由g(x)在[k，k＋1)(k∈Z)上是单调递增函数，知当g(x)∈[0，1)时，故f(x)∈[0，sin 1)，又g(x)的周期为1，故③正确，④错．综上，说法正确的序号为③.
【答案】 ③
(时间：90分钟__分数：120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2013·江西，2)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1]
【答案】 B 由解得0≤x<1，故选B.
2．(2015·福建闽江学院附中模拟，4)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝3x
C．y＝－x2＋1 D．y＝
【答案】 A 由定义域排除选项D；y＝3x是非奇非偶函数，排除选项B；选项A，C均为偶函数，但选项C在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
3．(2015·江西南昌一模，3)已知f(x)＝那么f(f(1))的值是( )
A．0 B．－2 C．1 D．－1
【答案】 C ∵f(1)＝1＋1＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝－2＋3＝1.
4．(2015·山东菏泽模拟，5)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(4)的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】 A 由于f(x)周期为5，且为奇函数，
∴f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(8)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.
5．(2011·浙江，1)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
【答案】 B 由或得α＝－4或α＝2，故选B.
6．(2015·辽宁沈阳质检，9)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【答案】 C ①当a＞0时，∵f(a)＞f(－a)，
∴log2a＞loga＝log2.
∴a＞，得a＞1.
②当a＜0时，∵f(a)＞f(－a)，
∴log(－a)＞log2(－a)＝log.
∴－a＜得－1＜a＜0，故C项为正确选项．
9．(2015·湖南长郡中学模拟，6)设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则当a∈[－1，1]时t的取值范围是( )
A．－2≤t≤2 B．－≤t≤
C．t≤－2或t＝0或t≥2 D．t≤－或t＝0或t≥
【答案】 C 由于f(x)为奇函数，且在[－1，1]上是增函数，f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，∴f(x)在[－1，1]上的最大值为1，∴1≤t2－2at＋1对∀a∈[－1，1]恒成立，即2at≤t2对a∈[－1，1]恒成立．当t＝0时，满足要求；当t>0时，有1≤，即t≥2；当t<0时，有－1≥，即t≤－2.综上可知，t≤－2或t＝0或t≥2.
10．(2015·陕西西安二模，10)已知y＝f(x)是偶函数，而y＝f(x＋1)是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′(x)≥0，则a＝f ，b＝f ，c＝f 的大小关系是( )
A．cf(k)，则实数k的取值范围为________．
【解析】 ∵f(f(－2))＝f(4)＝9，
∴f(k)<9.
当k<0时，<9，解得log9f(x2)．则f ，f(2)，f(3)从小到大排列是____________．
【解析】 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．根据③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，
所以f(1)0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>.由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得0
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