数学文卷·2018届安徽省宣城市六校（郎溪中学、宣城二中、广德中学等）高二下学期期中联考（2017-04）

数学文卷·2018届安徽省宣城市六校（郎溪中学、宣城二中、广德中学等）高二下学期期中联考（2017-04）

高二下学期宣城六校联考 数学（文科）试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合M={x|lnx＞0}，N={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则M∩N=（ ）‎ A．（﹣1，4） B．（1，+∞） C．（1，4） D．（4，+∞）‎ ‎2．i是虚数单位，（1﹣i）Z=2i，则复数Z的模|Z|=（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．设，“，，为等比数列”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎5．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则（ ）‎ A．A+B为a1，a2，…，aN的和 B．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数 C．为a1，a2，…，aN的算术平均数 D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数 ‎7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, ⊥平面, ，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．设函数是上的偶函数，当时，，函数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13． 观察下列不等式：‎ ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为________．‎ ‎14．已知实数x，y满足，若使得ax﹣y取得最小值的可行解有无数个，则实数a的值为　　．‎ ‎15．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路 上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B、C两点的俯角分别为 ‎，且，若山高，汽车从B点到C 点历时，则这里汽车的速度为 .‎ ‎16．设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量，则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题满分10分）在中，的对边分别为，，‎ 的面积为.‎ ‎(1).求的值； (2).求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．‎ 质量指标值 频数 ‎(190,195]‎ ‎9‎ ‎(195,200]‎ ‎10‎ ‎(200,205]‎ ‎17‎ ‎(205,210]‎ ‎8‎ ‎(210,215]‎ ‎6‎ 图1乙流水线样本频率分布直方图 表1：甲流水线样本的频数分布表 ‎(1).根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；‎ ‎(2).若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？‎ ‎(3).根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？‎ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 ‎ 附：（其中为样本容量）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.‎ ‎(1).设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；‎ ‎(2).求四棱锥P—ABCD的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知数列{}的前n项和，数列{}满足 ‎(1)求，； (2)设为数列{}的前n项和，求．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为, 且过点.‎ ‎(1).求椭圆的方程;‎ ‎(2).若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. ‎ ‎22．（本小题满分12分）函数.‎ ‎(1).讨论函数的单调性；‎ ‎(2).当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．‎ 数学（文科）‎ 一、选择题 ‎ （1）D （2）B （3）B （4）C （5）B （6）B ‎（7）C （8）C （9）D （10）C （11）A （12）D 二、填空题 ‎ （13） 1＋＋＋＋＋< （14）或1 （15） （16）‎ 三、解答题 ‎(17) （本小题满分10分）‎ ‎（Ｉ） ‎ ‎ (5分)‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 由于是三角形的内角，得，‎ 所以 （10分） ‎ ‎(18) （本小题满分12分）‎ ‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为 ‎ ，‎ ‎ ………………………………………1分 则 ……………………………3分 ‎ 解得． ………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， ‎ ‎ 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分 ‎ 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分 ‎ 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为：‎ ‎ ． …………………………8分 ‎（Ⅲ）列联表:‎ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 ‎35‎ ‎40‎ ‎75‎ 不合格品 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ …………………………10分 ‎ ‎ 则， ……………………………………………11分 ‎ 因为 ‎ 所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 ‎ 的选择有关”． ……………………………………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ (1)证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，‎ ‎∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.‎ 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，‎ BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.‎ 又BD⊂面BDM，‎ ‎∴面MBD⊥面PAD.（6分）‎ ‎(2)解　过P作PO⊥AD，‎ ‎∵面PAD⊥面ABCD，‎ ‎∴PO⊥面ABCD，‎ 即PO为四棱锥P—ABCD的高．‎ 又△PAD是边长为4的等边三角形，‎ ‎∴PO＝2.‎ 在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，‎ ‎∴四边形ABCD为梯形．‎ 在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，此即为梯形的高．‎ ‎∴S四边形ABCD＝×＝24.‎ ‎∴VP—ABCD＝×24×2＝16. （6分）‎ ‎20. （本小题满分12分）(1) (3分)、‎ ‎ (3分)（2） （6分）‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,‎ ‎ 所以, . ………………………………………………2分 ‎ 因为,‎ ‎ 解得, , ………………………………………………3分 ‎ 所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分 ‎(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对 ‎ 称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. ………………………………5分 ‎ 所以直线的方程为,直线的方程为.‎ ‎ 设点, ,‎ 由消去,得. ①‎ 因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则, ‎ ‎ ……………………………………………6分 所以. ……………………………………………7分 同理. ……………………………………………8分 所以. ……………………………………………9分 又. ……………………………………………10分 所以直线的斜率为. …………………………………………11分 所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分 法2：设点，‎ ‎ 则直线的斜率, 直线的斜率. ‎ ‎ 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.‎ ‎ 所以, 即, ① ………………………………………5分 ‎ 因为点在椭圆上,‎ ‎ 所以，②‎ ‎ . ③‎ ‎ 由②得, 得, ④ ………………………6分 ‎ 同理由③得, ⑤ ………………………………………………7分 ‎ 由①④⑤得, ‎ 化简得, ⑥ ……………………………8分 由①得, ⑦ ……………………………9分 ‎⑥⑦得. …………………………………………10分 ‎②③得,得. …………………11分 所以直线的斜率为为定值. …………………………………12分 ‎22. （本小题满分12分）‎ ‎（I）， （1分）‎ ‎（i）当时，，令,得，令,得，‎ 函数f(x)在上单调递增，上单调递减； （2分）‎ ‎（ii）当时，令，得, （3分）‎ 令,得，令,得，‎ 函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （4分）‎ ‎（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增；（5分）‎ ‎（iv）当时， （6分）‎ 令,得，令,得， （7分）‎ 函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （8分） ‎ 综上所述：当时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为；‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为 （9分）‎ ‎（II）当时，，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，‎ 只需有唯一实数解， （10分）‎ 令，∴，‎ 由得；得，‎ ‎∴在区间上是增函数，在区间上是减函数. （11分）‎ ‎，， ，故 或 （12分）‎