数学文卷·2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考（2017

数学文卷·2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考（2017

天津一中2017-2018学年度高三年级月考试卷 数学（文史类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若从集合中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则“”是“”的必要不充分条件 B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C．若命题“，”，则是真命题 D．命题“，”的否定是“，”‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B．-1 C. D．1‎ ‎5.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A．或 B．或 C.或 D．‎ ‎6.若的图像关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数.设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为 ．‎ ‎10.已知函数，则的极大值为 ．‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎12.已知双曲线的右焦点为，抛物线的焦点是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎13.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.在平行四边形中，已知，，点是的中点，与相交于点，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.在中，内角所对的边分别为.已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎16.某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在（单位：克），脂肪的摄入量控制在（单位：克），某学校食堂提供的伙食以食物和食物为主，1千克食物含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.‎ ‎（1）如果某学生只吃食物，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；‎ ‎（2）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克？并求出最低需要花费的钱数.‎ ‎17.如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点.‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）证明平面平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18.已知数列，，为数列的前项和，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项和，求.‎ ‎19.已知函数，（为常数）.‎ ‎（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；‎ ‎（2）若，且，证明：；‎ ‎（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆经过点，其中为椭圆的离心率.过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点且平行于的直线交椭圆于点，，求的值；‎ ‎（3）记直线与轴的交点为.若，求直线的斜率.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBABA 6-8:DAA 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12.‎ ‎13. 14.3‎ 三、解答题 ‎15.解：（1）由及，得.‎ 由及余弦定理，得.‎ ‎（2）由（1）可得，代入，得.‎ 由（1）知为钝角，所以.‎ 于是，，‎ 故.‎ ‎16.（1）解：如果学生只吃食物，则蛋白质的摄入量在（单位：克）时，食物的重量在（单位：千克），其相应的脂肪摄入量在（单位：克），不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在（单位：克）时，食物的重量在（单位：千克），其相应的蛋白质摄入量在（单位：克），不符合营养学家的建议.‎ ‎（2）设学生每天吃千克食物，千克食物，每天的伙食费为，‎ 由题意满足，即，‎ 可行域如图所示，‎ 把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大.‎ 解方程组，得点的坐标为，‎ 所以元，‎ 答：学生每天吃0.8千克食物，0.4千克食物，既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.‎ ‎17.（1）证明：如图，在三棱柱中，，且，连接，在中，因为分别为的中点，‎ 所以且，‎ 又因为为的中点，可得，且，即四边形为 平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）证明：由于底面是正三角形，为的中点，故，‎ 又由于侧棱底面，平面，所以，‎ 又，因此平面，而平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（3）解：在平面内，过点作交直线于点，连接 由于平面平面，而直线是平面与平面的交线，故平面.由此得为直线与平面所成的角.‎ 设棱长为，可得，由，易得.‎ 在中，.所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎18.解：（1）当时，‎ 当时，，‎ 综上，是公比为2，首项为2的等比数列，.‎ ‎（2）∵，∴，∵，∴‎ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列，.‎ ‎（3）令 ‎（1）-（2），得 ‎19.解：（1），则且.‎ 所以函数在处的切线方程为：，从而，即.‎ ‎（2）由题意知：设函数，则.‎ 设，从而对任意恒成立，‎ 所以，即，‎ 因此函数在上单调递减，即，‎ 所以当时，成立.‎ ‎（3）设函数，‎ 从而对任意，不等式恒成立.‎ 又，当，即恒成立时，函数单调递减.‎ 设，则，所以，即，符合题意；‎ 当时，恒成立，此时函数单调递增.‎ 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；‎ 当时，设，‎ 则 当时，，此时单调递增，‎ 所以，‎ 故当时，函数单调递增.‎ 于是当时，成立，不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为：.‎ ‎20.解：（1）因为椭圆经过点，所以.‎ 因为，所以.‎ 因为，所以.‎ 整理得，解得或（舍）.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，.因为，则直线的方程为.‎ 联立直线与椭圆方程，‎ 消去，得，所以.‎ 因为，所以直线方程为，‎ 联立直线与椭圆方程，消去得，解得.‎ 因为，所以.‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（3）在中，令，则，所以，‎ 从而，.‎ 因为，所以，即.‎ 由（2）知，.‎ 由，解得，.‎ 因为，所以，‎ 整理得，解得或（舍）.‎ 又因为，所以.‎