2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学试题（理科）‎ 一、 填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）‎ 1. 复数的虚部为 ▲ ．‎ ‎2． 用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 ▲ ．‎ ‎3．设复数为虚数单位),z的共轭复数为=___▲_____.‎ ‎4．用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为 ▲ ．‎ ‎5．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是 ▲ ．(填写序号) ‎ ‎6．观察下列等式：‎ ‎…………‎ 据此规律，第n个等式可为_______________▲_____________________.‎ ‎7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有 ▲ 个 ‎ ‎8．设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=　▲　．‎ ‎9.已知，则= ▲ .‎ ‎10.的展开式中的系数为70，则=___▲_____．‎ ‎11.在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　__▲.‎ ‎12. 记等差数列{an}得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=；类似地，记等比数列{bn}的前n项积为Tn，bn＞0（n∈‎ N*），类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn= ▲ ．‎ ‎13.已知，则= ▲ ．‎ ‎14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎15、（本小题满分14分）‎ ‎ (1)设.‎ ‎①求；‎ ‎②求；‎ ‎③求；‎ (2) 求除以9的余数．‎ ‎16．（本小题满分14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．‎ ‎（1）求w；‎ ‎（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．‎ ‎18.（本小题满分16分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎(1)男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎(2)至少有1名女运动员；‎ ‎(3)既要有队长，又要有女运动员.‎ ‎19.　（本小题满分16分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.‎ ‎(1)求展开式中的所有有理项；‎ ‎(2)求展开式中系数绝对值最大的项；‎ ‎(3)求n＋‎9C＋‎81C＋…＋9n－‎1C的值．‎ ‎[ZXX ‎20 （本小题满分16分） 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 ‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式bn;‎ ‎(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论 ‎ ‎2017-2018学年第二学期高二期中考试 数学（理科）评分标准 一、填空题（每小题5分，共计70分）‎ ‎1.____-1__________ 2.___都不能被2整除__________ 3._____________ 4.______5________ 5.______②________ 6.______________‎ ‎7.______72___________ 8.________________‎ ‎9.____ 210__________ 10._____±1________ 11.________________ 12._____________ 13._____180________ 14._____930________‎ 二、解答题(六大题，共90分）‎ ‎15.（本题满分14分）‎ 解：(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. --------------------2分 ‎②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，‎ 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. ----------------6分 ‎ ‎ ‎③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，‎ 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15. --------------------8分 ‎（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1‎ ‎＝89－1＝(9－1)9－1 --------------------10分 ‎＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7， --------------------12分 显然上式括号内的数是正整数．‎ 故S被9除的余数为7. --------------------14分 ‎16.（本题满分14分）‎ 解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴； --------------------4分 ‎（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，‎ 其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆． --------------------10分 ‎∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π． --------------------14分 ‎17.（本题满分14分）‎ 证明： （1）要证，‎ 只要证， ---------------------2分 只要证， 只要证，----------------4分 由于，只要证， -----------------------------------------6分 最后一个不等式成立，所以 ………8分（其它方法酌情给分）‎ ‎（2）（反证法）假设均不小于2，即≥2，≥2，---------------------10分 ‎∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，---------------------13分 故中至少有一个小于2． -------------------------14分 ‎18.（本题满分16分）‎ 解⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.‎ 第二步：选2名女运动员，有种选法.‎ 共有(种)选法. -------------------------4分 ‎⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.‎ 从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.‎ 所以“至少有1名女运动员”的选法有(种). -------------------------9分 ‎(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种). -------------------------16分 ‎19.（本题满分16分）‎ 解　(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10， -------------------------2分 因为通项Tr＋1＝C()10－r ‎＝(－2)rC，r＝0,1,2，…，10. -------------------------4分 当5－为整数时，r可取0,6，‎ 于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440. ------------------------6分 ‎(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则 解得又因为r∈{1,2,3，…，9}， ------------------8分 所以r＝7，当r＝7时，T8＝－15 360， -------------------------9分 又因为当r＝0时，T1＝x5，‎ 当r＝10时，‎ T11＝(－2)10＝1 024，‎ 所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360. -------------------------12分 ‎ ‎(3)原式＝10＋‎9C＋‎81C＋…＋910－‎1C ‎＝ -------------------------14分 ‎＝ ‎＝＝. -------------------------16分 ‎20.（本题满分16分）‎ 解 (1) 设数列{bn}的公差为d,‎ 由题意得,∴bn=3n－2 -------------------------3分 ‎(2)证明 由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)‎ ‎=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］‎ 而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小 比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小 ‎ 取n=1，有(1+1)=‎ 取n=2，有(1+1)(1+‎ 推测 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*) -------------------------8分 ‎①当n=1时，已验证(*)式成立 ‎ ‎②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞‎ 则当n=k+1时，‎ ‎ ‎ ‎,‎ 即当n=k+1时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 -------------------------14分于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 ----------------------16分